Questão 3
(b) Encontre o comprimento exato da curva polar
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(b) Encontre o comprimento exato da curva polar
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar o comprimento exato da curva polar dada por $ r = \sin 2\theta $ no intervalo de $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de comprimento de curva em coordenadas polares. Vamos passo a passo entender como aplicar essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares:
Aqui, $ r(\theta) = \sin 2\theta $ e queremos calcular de $ \theta = 0 $ até $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
Passo 4
Agora, substituímos $ r(\theta) $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, podemos reescrever:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos definir $ u = 2\theta $, então $ du = 2,d\theta $ ou $ d\theta = \frac{du}{2} $. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 0 $ e quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ u = \pi $.
Substituindo na integral:
Passo 8
A integral $ \int \sqrt{1 + 3\cos^2 u} , du $ não tem uma solução elementar simples, ou seja, não pode ser expressa apenas com funções básicas. Para obter o comprimento exato, reconhecemos que essa integral é um tipo de integral elíptica, que é uma classe de integrais que aparecem frequentemente em problemas envolvendo curvas elípticas.
Portanto, a expressão para o comprimento exato da curva é:
Resposta
O comprimento exato da curva polar $ r = \sin 2\theta $ no intervalo $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ é dado por: