INSTRUÇÕES: Escolha apenas uma questão dentre a 1 e a 2. As questões 3 e 4 são obrigatórias.
o Questão 2 Seja a curva polar r=2 sin theta.
(b) Encontre os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar os pontos na curva polar $ r = 2 \sin \theta $ onde a reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Como $ r = 2 \sin \theta $, podemos substituir:
r = 2 sin theta
x = 2 sin theta cos theta

Passo 3

Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal. Isso acontece quando a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, é igual a zero.
Sabemos que:
y
Então, vamos calcular $ \frac{dy}{d\theta} $ e $ \frac{dx}{d\theta} $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdtheta = 2 ( cos^2 theta - sin^2 theta )
dydtheta = 4 sin theta cos theta

Passo 5

Para que a reta tangente seja horizontal, precisamos que $ \frac{dy}{dx} = 0 $. Isso significa que o numerador da fração deve ser zero, ou seja:
dydx = 0

Passo 6

Resolvendo a equação $ 4 \sin \theta \cos \theta = 0 $:
4 sin theta cos theta = 0
Isso acontece quando:
sin theta = 0 ou cos theta = 0

Passo 7

Vamos verificar quais desses valores de $ \theta $ realmente dão pontos na curva com a tangente horizontal:
  • Para $ \theta = 0 $ e $ \theta = \pi $, $ r = 0 $, o que corresponde à origem. Nesse caso, a derivada $ \frac{dx}{d\theta} $ também é zero, então não podemos determinar a inclinação da tangente.
  • Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ r = 2 $, então o ponto é $ (0, 2) $.
  • Para $ \theta = \frac{3\pi}{2} $, $ r = -2 $, o que também corresponde à origem.

Passo 8

Portanto, o único ponto onde a reta tangente é horizontal é quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, que corresponde ao ponto $ (0, 2) $.

Resposta

O ponto na curva onde a reta tangente é horizontal é $ (0,\ 2) $.

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