INSTRUÇÕES: Escolha apenas uma questão dentre a 1 e a 2. As questões 3 e 4 são obrigatórias.
o Questão 2 Seja a curva polar
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(b) Encontre os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal.
o Questão 2 Seja a curva polar
(b) Encontre os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar os pontos na curva polar $ r = 2 \sin \theta $ onde a reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Como $ r = 2 \sin \theta $, podemos substituir:
Passo 3
Agora, queremos encontrar onde a reta tangente é horizontal. Isso acontece quando a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, é igual a zero.
Sabemos que:
Então, vamos calcular $ \frac{dy}{d\theta} $ e $ \frac{dx}{d\theta} $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Para que a reta tangente seja horizontal, precisamos que $ \frac{dy}{dx} = 0 $. Isso significa que o numerador da fração deve ser zero, ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação $ 4 \sin \theta \cos \theta = 0 $:
Isso acontece quando:
Passo 7
Vamos verificar quais desses valores de $ \theta $ realmente dão pontos na curva com a tangente horizontal:
- Para $ \theta = 0 $ e $ \theta = \pi $, $ r = 0 $, o que corresponde à origem. Nesse caso, a derivada $ \frac{dx}{d\theta} $ também é zero, então não podemos determinar a inclinação da tangente.
- Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $, $ r = 2 $, então o ponto é $ (0, 2) $.
- Para $ \theta = \frac{3\pi}{2} $, $ r = -2 $, o que também corresponde à origem.
Passo 8
Portanto, o único ponto onde a reta tangente é horizontal é quando $ \theta = \frac{\pi}{2} $, que corresponde ao ponto $ (0, 2) $.
Resposta
O ponto na curva onde a reta tangente é horizontal é $ (0,\ 2) $.