Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros: : parte da esfera , que fica acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrizar uma superfície , que é a parte da esfera acima do plano . Isso significa que vamos descrever os pontos dessa parte da esfera usando parâmetros, geralmente duas variáveis. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para trabalhar com esferas. Vamos precisar entender como converter de coordenadas esféricas para cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera com equação tem raio . No nosso caso, , então o raio . Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
Aqui, theta é o ângulo no plano xy (varia de 0 a 2pi) e phi é o ângulo em relação ao eixo z (varia de 0 a pi).
Passo 3
Como queremos apenas a parte da esfera que está acima do plano z = 2, precisamos determinar para quais valores de phi isso acontece. Sabemos que:
z = r cosphi = 2 cosphi
Queremos z >= 2, então:
2 cosphi >= 2 implies cosphi >= 1 implies phi = 0
Isso significa que a única maneira de ter z = 2 é quando phi = 0. Mas como phi varia de 0 a pi, para valores de phi menores que 0 ou maiores que 0, não temos sentido físico. Portanto, na verdade, apenas o ponto no topo da esfera atende a z = 2.
Passo 4
Percebi que há um detalhe: se a esfera tem raio 2, o ponto mais alto dela no eixo z é exatamente z = 2. Portanto, a região acima do plano z = 2 na esfera é apenas esse ponto. Então, não há uma superfície com área acima de z = 2, apenas o ponto (0,0,2).
Resposta
A parametrização da superfície S é apenas o ponto (0, 0, 2).