Seu chefe visitou uma determinada empresa, que fabrica um produto D, desejado, que faz parte da linha de desenvolvimento da empresa em que você trabalha. Nesta visita, seu chefe foi capaz de colher as seguintes informações: A reação se passa em fase gasosa e a alimentação do sistema contém 60 \% de inertes. A concentração e a vazão na alimentação é igual à 2 \mathrm{gmol} / \mathrm{l} e 10 \mathrm{l} / \mathrm{min}, respectivamente. Nessas condições, a empresa produz 525 \mathrm{~g} / \mathrm{min} do produto desejado. A unidade da fabricação consiste em um arranjo de três reatores em série. Primeiramente, a alimentação é introduzida em um reator tubular, de modo que a concentração da espécie D, na saída, seja de
0,244 \mathrm{gmol} / \mathrm{I}. A carga quee deixa o primeiro reator é introduzida em um reator de mistura de volume igual à 230 litros, de forma melhorar a conversão do sistema. Em seguida, a carga que deixa o reator de mistura é introduzida em um outro reator de mistura para completar a conversão desejada.
Seu chefe pede a você que: determine os volumes dos reatores e as respectivas conversões obtidas em cada etapa do processo e as quantidades de A, C, D e inerte na saida do terceiro reator.
Dados: Reação 4 \mathrm{~A}+ Inertes \longrightarrow 3 \mathrm{C}+4 \mathrm{D}
(1 /-\mathrm{ra}) 10 20 40 50 40 30 20 22 40
X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para não nos perder):
\begin{aligned} &\text{Reação: }4A+\text{Inertes}\longrightarrow 3C+4D.\\\ &\text{Alimentação: concentração (de }A\text{) }=2\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L},\\\ &\qquad\qquad\text{vazão volumétrica }Q_0=10\\ \mathrm{L}/\mathrm{min}.\\\ &\text{Na alimentação há }60\% \text{ de inertes (por fração molar).}\\\ &\text{Produção indicada da empresa: }525\\ \mathrm{g}/\mathrm{min}\text{ de }D.\\\ &\text{Planta: reator tubular (PFR) → CSTR de volume }230\\ \mathrm{L} \text{ → CSTR (desconhecido).}\\\ &\text{Na saída do primeiro reator: }C_{D,1}=0{,}244\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L}.\\\ &\text{Tabela (dada) relaciona }\dfrac{1}{-r_A}\text{ com }X:\\\ &\qquad \begin{array}{c|ccccccccc} X&0&0{,}1&0{,}2&0{,}3&0{,}4&0{,}5&0{,}6&0{,}7&0{,}8\\hline 1/(-r_A)&10&20&40&50&40&30&20&22&40 \end{array} \end{aligned}çãçãçããéçãáçãçãí
O que nos pedem:
\begin{aligned} &\text{(a) volumes dos reatores }V_1,V_2,V_3\text{;}\quad\text{(b) conversões em cada etapa }X_1,X_2,X_3;\\\ &\text{\text{(c)} quantidades de }A,C,D\text{ e inertes na saída do terceiro reator.} \end{aligned}õí
Observação de interpretação (não te pergunto nada, apenas explico a opção que vou usar): vou considerar que a concentração dada de 2\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L} refere-se a A na alimentação. Quando dizem “ 60\% de inertes” vou interpretar como fração molar de inertes na alimentação (ou seja, inertes = 60\% do total molar do fluido de alimentação). Com essa interpretação obtemos as vazões molares iniciais que usarei adiante.

Passo 2

Definições de variáveis e relações estequiométricas que usaremos (aqui explico a teoria de forma prática):
  • Definimos a conversão de A como \;X=\dfrac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}, onde F_{A0} é a vazão molar de A na alimentação (unidade \mathrm{gmol}/\mathrm{min}) e F_A é a vazão molar de A em qualquer ponto.
  • A relação estequiométrica entre consumos e produções: pela reação 4A\to 3C+4D,
    • para cada mol de A consumido se forma 1 mol de D (porque 4A gera 4D), então F_D = F_{D0} + F_{A0}\,X\quad(\text{aqui }F_{D0}=0).
    • para cada mol de A consumido se forma \tfrac{3}{4} mol de C, então F_C = F_{C0} + \tfrac{3}{4}F_{A0}\,X\quad(\text{aqui }F_{C0}=0).
  • A vazão molar de inertes é constante ao longo do sistema: F_I=F_{I0}.
  • Design dos reatores:
    • PFR (reator tubular): \;V = F_{A0}\displaystyle\int_{0}^{X} \dfrac{dX}{-r_A}.
    • CSTR: \;V = F_{A0}\dfrac{X_{\text{out}}-X_{\text{in}}}{-r_A(X_{\text{out}})}.
  • A tabela fornece valores de \dfrac{1}{-r_A} versus X; usaremos integração numérica (regra trapezoidal) e interpolação linear quando necessário.
  • Relação entre concentração de D e conversão: como F_D=F_{A0}X e fluxo volumétrico é constante ( Q=Q_0), a concentração de D é C_D = \dfrac{F_D}{Q_0}=\dfrac{F_{A0}X}{Q_0}.Se conhecemos C_{D} podemos obter X como X = \dfrac{C_D\,Q_0}{F_{A0}}=\dfrac{C_D}{C_{A0}} (porque F_{A0}=C_{A0}Q_0). Vou usar essa última forma para achar X_1 a partir de C_{D,1}.

Passo 3

Calcular as vazões molares iniciais (dados simples)
  • Concentração inicial de A: \;C_{A0}=2\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L}.
  • Vazão volumétrica: \;Q_0=10\\ \mathrm{L}/\mathrm{min}.
  • Portanto vazão molar de A na alimentação: F_{A0}=C_{A0}\,Q_0 = 2\cdot 10 = 20\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}.
  • Interpretação de 60\% de inertes (fração molar): se inertes são 60\% então A é 40\% do total. Assim a concentração total na alimentação é C_{\text{total}}=\dfrac{C_{A0}}{0{,}4}=\dfrac{2}{0{,}4}=5\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L}.Logo concentração de inertes: C_{I0}=0{,}6\cdot C_{\text{total}}=0{,}6\cdot 5=3\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L}.E vazão molar de inertes: F_{I0}=C_{I0}\,Q_0 = 3\cdot 10 = 30\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}.
(Observação: as unidades e números foram colocados dentro de ... conforme solicitado.)

Passo 4

Encontrar a conversão após o primeiro reator (PFR) a partir da concentração de D dada
  • Foi dado C_{D,1}=0{,}244\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L} na saída do primeiro reator.
  • Usando C_{D,1}=C_{A0}\,X_1 (porque C_D=C_{A0}X quando C_{D0}=0), obtemos X_1=\dfrac{C_{D,1}}{C_{A0}}=\dfrac{0{,}244}{2}=0{,}122.
Portanto a conversão depois do primeiro reator é \;X_1=0{,}122 (ou 12{,}2\%).

Passo 5

Calcular o volume do primeiro reator (PFR) usando a integral com a tabela
  • Fórmula: \;V_1 = F_{A0}\displaystyle\int_{0}^{X_1} \dfrac{dX}{-r_A}.
  • Vamos avaliar a integral numericamente usando a tabela e interpolação linear entre pontos. A tabela tem os pares (X,\;1/(-r_A)). Precisamos da integral de y(X)=1/(-r_A) de 0 a 0{,}122.
  • Integramos em dois pedaços: de 0 a 0{,}1 e de 0{,}1 a 0{,}122.
    • De 0 a 0{,}1: valores em 0 e 0{,}1 são 10 e 20. Área (trapézio): A_{0-0{,}1}=\dfrac{10+20}{2}\cdot 0{,}1 =15\cdot 0{,}1 =1{,}5.
    • De 0{,}1 a 0{,}122 (comprimento 0{,}022): interpolamos y entre 20 (em 0{,}1) e 40 (em 0{,}2). Slope \dfrac{40-20}{0{,}1}=200. Valor em 0{,}122: y(0{,}122)=20+200\cdot(0{,}022)=20+4{,}4=24{,}4.Área (trapézio): A_{0{,}1-0{,}122}=\dfrac{20+24{,}4}{2}\cdot 0{,}022=22{,}2\cdot 0{,}022=0{,}4884.
  • Integral total: \int_{0}^{0{,}122}\dfrac{dX}{-r_A}\approx 1{,}5+0{,}4884=1{,}9884\\ \text{(unidades de min/gmol satisfazendo }V\text{ em L)}.
  • Logo V_1 = F_{A0}\cdot 1{,}9884 = 20\cdot 1{,}9884 = 39{,}768\\ \mathrm{L}.
Arredondando razoavelmente: \;V_1\approx 39{,}8\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Calcular a conversão de saída do segundo reator (CSTR de V_2=230\\ \mathrm{L})
  • Fórmula do CSTR, partindo de conversão X_1 até X_2: V_2 = F_{A0}\dfrac{X_2-X_1}{-r_A(X_2)}.Reescrevendo com y(X)=1/(-r_A): (X_2-X_1)\,y(X_2) = \dfrac{V_2}{F_{A0}}.
  • Calculamos o lado direito: \dfrac{V_2}{F_{A0}}=\dfrac{230}{20}=11{,}5.Então buscamos X_2 tal que (X_2-0{,}122)\,y(X_2)=11{,}5.
  • Avaliando com a tabela por tentativas/ interpolação:
    • Em X=0{,}4: y=40 (0{,}4-0{,}122)\cdot 40=0{,}278\cdot40=11{,}12 (um pouco menor que 11{,}5).
    • Em X=0{,}5: y=30 (0{,}5-0{,}122)\cdot30=0{,}378\cdot30=11{,}34 (ainda menor).
    • Em X=0{,}6: y=20 (0{,}6-0{,}122)\cdot20=0{,}478\cdot20=9{,}56 (menor).
    • Em X=0{,}7: y=22 (0{,}7-0{,}122)\cdot22=0{,}578\cdot22=12{,}716 (maior).
      Logo a solução está entre 0{,}6 e 0{,}7.
  • Interpolação linear refinada entre X=0{,}6 e X=0{,}7: para 0{,}6\le X\le 0{,}7 podemos aproximar y(X)=20+20(X-0{,}6)=20X+8. Então (X-0{,}122)(20X+8)=11{,}5.Desenvolvendo e resolvendo a quadrática (detalhes de álgebra): 20X^2+5{,}56X-12{,}476=0.Resolvendo a equação obtemos a raiz relevante X_2\approx 0{,}6630.
Portanto a conversão na saída do segundo reator é \;X_2\approx 0{,}663 (ou 66{,}3\%).

Passo 7

Calcular o volume do terceiro reator (CSTR final) assumindo que a “conversão desejada” é alcançar X_3=0{,}8
  • Justificativa da escolha: a tabela de dados chega até X=0{,}8 e o enunciado diz “para completar a conversão desejada” — normalmente, em problemas assim, a última etapa é feita até um ponto de conversão máximo definido pelos dados disponíveis; aqui vamos tomar X_3=0{,}8 (ponto mais alto da tabela) como o objetivo final. Se a empresa tivesse outra meta (por exemplo, a meta numérica 525\\ \mathrm{g}/\mathrm{min} de D), para verificarmos isso precisaríamos da massa molar de D (não fornecida). Ao final eu mostro como checar essa compatibilidade.
  • Usamos a equação do CSTR para ir de X_2 até X_3: V_3 = F_{A0}\dfrac{X_3-X_2}{-r_A(X_3)} = F_{A0}\,(X_3-X_2)\,y(X_3).
  • Da tabela, em X_3=0{,}8 temos y(0{,}8)=40.
  • Então V_3 = 20\cdot(0{,}8-0{,}6630)\cdot 40.Calculando: 0{,}8-0{,}6630=0{,}1370\quad\Rightarrow\quad (0{,}1370)\cdot 40=5{,}48,
V_3=20\cdot 5{,}48 =109{,}6\\ \mathrm{L}.
Assim, \;V_3\approx 109{,}6\\ \mathrm{L}.

Passo 8

Resumo dos volumes e conversões (reunião dos resultados obtidos)
  • Conversões: X_1=0{,}122,\qquad X_2\approx 0{,}663,\qquad X_3=0{,}8.
  • Volumes: V_1\approx 39{,}8\\ \mathrm{L},\qquad V_2=230\\ \mathrm{L}\\ (\text{dado}),\qquad V_3\approx 109{,}6\\ \mathrm{L}.

Passo 9

Calcular as vazões molares e concentrações na saída do terceiro reator
  • Vazão molar de A na saída: F_{A3}=F_{A0}(1-X_3)=20\cdot(1-0{,}8)=20\cdot 0{,}2=4\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}.
  • Vazão molar de D (produzido): F_{D3}=F_{A0}X_3=20\cdot 0{,}8=16\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}.
  • Vazão molar de C: F_{C3}=\tfrac{3}{4}F_{A0}X_3=\tfrac{3}{4}\cdot 20\cdot 0{,}8=0{,}75\cdot 16=12\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}.
  • Vazão molar de inertes (constante): F_{I3}=F_{I0}=30\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}.
  • Se quisermos concentrações (usando Q_0=10\\ \mathrm{L}/\mathrm{min}): C_{A3}=\dfrac{F_{A3}}{Q_0}=\dfrac{4}{10}=0{,}4\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L},
C_{D3}=\dfrac{16}{10}=1{,}6\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L},\quad C_{C3}=\dfrac{12}{10}=1{,}2\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L},\quad C_{I3}=\dfrac{30}{10}=3\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{L}.
Comentário final de verificação com a produção indicada ( 525\\ \mathrm{g}/\mathrm{min} de D):
  • Nós encontramos F_{D3}=16\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}. Para que isso corresponda a 525\\ \mathrm{g}/\mathrm{min} seria necessário que a massa molar de D fosse M_D=\dfrac{525}{16}\approx 32{,}8125\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}.Como o enunciado não forneceu M_D, eu não transformei as vazões molares em massa — mas deixei a fórmula e o número para que você cheque com o valor tabulado do M_D se o enunciado do seu professor fornecer esse dado em sala.

Resposta

V_1\approx 39{,}8\\ \mathrm{L} \n
V_2=230\\ \mathrm{L} \n
V_3\approx 109{,}6\\ \mathrm{L} \n
X_1=0{,}122 \n
X_2\approx 0{,}663 \n
X_3=0{,}8 \n
F_{A3}=4\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min} \n
F_{C3}=12\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min} \n
F_{D3}=16\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min} \n
F_{I3}=30\\ \mathrm{gmol}/\mathrm{min}

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