Determinar o domínio das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{x^{2}-9 x+20}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\frac{1}{x^{2}-9x+20}.
Informações dadas: a função é uma fração cujo numerador é 1 e cujo denominador é o polinômio x^{2}-9x+20. A missão é achar todos os valores de x para os quais f(x) está definida.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): o domínio de uma função racional como f(x)=\frac{1}{\text{denominador}} é o conjunto de todos os números reais exceto aqueles que fazem o denominador ser zero. Por quê? Porque divisão por zero é indefinida: por exemplo \frac{1}{0} não tem sentido no conjunto dos números reais. Logo, devemos encontrar os x tais que o denominador seja igual a zero e excluí‑los do domínio.

Passo 3

Vamos então encontrar para quais x temos
x^{2}-9x+20=0.
Resolver essa equação quadrática nos dá exatamente os valores proibidos para x.

Passo 4

Procuro dois números cujo produto seja 20 e cuja soma seja -9. Esses números são -4 e -5, porque (-4)\cdot(-5)=20 e (-4)+(-5)=-9. Assim o polinômio fatora como
x^{2}-9x+20=(x-4)(x-5).

Passo 5

Igualando cada fator a zero obtemos as raízes:
x-4=0 \implies x=4,
x-5=0 \implies x=5.
Portanto o denominador se anula exatamente em x=4 e x=5. Esses valores não podem pertencer ao domínio.

Passo 6

Conclusão: o domínio é o conjunto de todos os reais exceto 4 e 5. Em notações usuais isso pode ser escrito de duas formas equivalentes:
\mathbb{R}\setminus\{4,5\}
ou
(-\infty,4)\cup(4,5)\cup(5,\infty).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{4,5\}
(-\infty,4)\cup(4,5)\cup(5,\infty)

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