A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de:
chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos, sabendo-se que a chegada de ônibus segue uma distribuição de Poisson com taxa de chegada de \,3 ônibus por minuto. Informações dadas:
\text{taxa por minuto} = 3,\qquad \text{intervalo de tempo} = 5\\ \text{minutos},\qquad \text{evento pedido: } \text{exatamente }4\text{ ônibus}.ô

Passo 2

A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo quando essas ocorrências são raras, independentes e com taxa média constante. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo com parâmetro \lambda é
P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.
Aqui:
\lambda = número médio esperado de eventos no intervalo que estamos considerando (não confundir com a taxa por unidade de tempo),
k = número de eventos que queremos (aqui k=4),
e = base dos logaritmos naturais ( \approx 2,71828),
k! = fatorial de k (produto dos inteiros positivos até k).

Passo 3

Precisamos calcular o parâmetro \lambda para o intervalo de 5 minutos. A taxa é \,3 ônibus por minuto, então
\lambda = (\text{taxa por minuto}) \times (\text{tempo em minutos}) = 3 \times 5 = 15.
Portanto, na fórmula da Poisson usaremos \lambda=15.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com k=4 e \lambda=15:
P(N=4)=\frac{15^{4}e^{-15}}{4!}.
Calcule passo a passo as partes:
15^{2}=225,\qquad 15^{3}=225\times15=3375,\qquad 15^{4}=3375\times15=50625.
E
4! = 4\times3\times2\times1 = 24.
Portanto a fração fica
\frac{15^{4}}{4!}=\frac{50625}{24}=2109,375.

Passo 5

Multiplicando por e^{-15} obtemos a probabilidade exata e a aproximação numérica. A forma exata é
P(N=4)=2109,375\;e^{-15}.
Para obter um valor decimal aproximado, usamos e^{-15}\approx 3{,}059023205\times10^{-7}. Assim
P(N=4)\approx 2109{,}375 \times 3{,}059023205\times10^{-7}\approx 0{,}0006447.
Ou, em notação científica,
P(N=4)\approx 6{,}447\times10^{-4}.

Passo 6

Interpretação curta: a média esperada de ônibus em 5 minutos é \lambda=15, ou seja, em média chegam 15 ônibus nesse intervalo; pedir exatamente 4 é um evento bastante improvável (por isso a probabilidade é pequena, \approx0{,}0006447). Força aí — essa conta é padrão em provas: calcular \lambda, substituir na fórmula da Poisson e simplificar.

Resposta

\dfrac{15^{4}e^{-15}}{4!}\approx0{,}0006447

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