A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de:
chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos.
chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de chegarem exatamente 4 ônibus em 5 minutos, sabendo-se que a chegada de ônibus segue uma distribuição de Poisson com taxa de chegada de
ônibus por minuto. Informações dadas:
Passo 2
A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo quando essas ocorrências são raras, independentes e com taxa média constante. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
eventos em um intervalo com parâmetro
é
Aqui:
= número médio esperado de eventos no intervalo que estamos considerando (não confundir com a taxa por unidade de tempo),
= número de eventos que queremos (aqui
),
= base dos logaritmos naturais (
),
= fatorial de
(produto dos inteiros positivos até
).
Passo 3
Precisamos calcular o parâmetro
para o intervalo de
minutos. A taxa é
ônibus por minuto, então
Portanto, na fórmula da Poisson usaremos
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com
e
:
Calcule passo a passo as partes:
E
Portanto a fração fica
Passo 5
Multiplicando por
obtemos a probabilidade exata e a aproximação numérica. A forma exata é
Para obter um valor decimal aproximado, usamos
. Assim
Ou, em notação científica,
Passo 6
Interpretação curta: a média esperada de ônibus em
minutos é
, ou seja, em média chegam
ônibus nesse intervalo; pedir exatamente
é um evento bastante improvável (por isso a probabilidade é pequena,
). Força aí — essa conta é padrão em provas: calcular
, substituir na fórmula da Poisson e simplificar.