A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de:
chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que cheguem exatamente 8 ônibus em 2 minutos, sabendo que a chegada de ônibus no terminal acontece à razão de 3 por minuto e que o processo segue distribuição de Poisson. Informações dadas:
  • taxa (chegadas) = 3 ônibus por minuto;
  • intervalo de tempo considerado = 2 minutos;
  • evento pedido: “chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos”.

Passo 2

Agora vou explicar a fórmula que usamos (passo a passo, sem pressa).
A distribuição que descreve o número de eventos que ocorrem num intervalo de tempo quando os eventos são raros e independentes é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de eventos (aqui: ônibus) no intervalo;
  • k é o número específico de eventos cujo a probabilidade queremos (aqui k=8);
  • \lambda é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo considerado; é igual à taxa por unidade de tempo multiplicada pelo comprimento do intervalo;
  • e é a base do logaritmo natural ( e\approx2,71828);
  • k! é o fatorial de k, ou seja k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot1.
    Essa fórmula diz: multiplicamos e^{-\lambda} (a queda exponencial) pelo termo \lambda^k/k! que ajusta para o número exato k.

Passo 3

Calcular \lambda para o intervalo de 2 minutos. Como a taxa é 3 ônibus por minuto, então
\lambda = 3\\ (\text{ônibus/min}) \times 2\\ (\text{min}) = 6.ô
Portanto usamos \lambda=6 na fórmula.

Passo 4

Aplicando a fórmula da Poisson com k=8 e \lambda=6, obtemos a expressão exata:
P(X=8)=e^{-6}\frac{6^{8}}{8!}.
Aqui eu substituí k por 8 e \lambda por 6.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo os componentes numéricos (para que você consiga fazer na prova sem pular etapas).
Calcule 6^{8}:
6^{2}=36,\quad 6^{3}=216,\quad 6^{4}=1296,\quad 6^{8}=(6^{4})^{2}=1296^{2}=1679616.
Calcule 8!:
8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320.
Agora a fração inteira:
\frac{6^{8}}{8!}=\frac{1679616}{40320}.
Simplificamos a fração dividindo por 6 duas vezes e por 16 e por 2 (para facilitar a conta à mão):
\frac{1679616}{40320}=\frac{279936}{6720}=\frac{46656}{1120}=\frac{2916}{70}=\frac{1458}{35}.
Logo a expressão simplificada é
P(X=8)=e^{-6}\frac{1458}{35}.
Para obter um número prático, usamos a aproximação e^{-6}\approx0,0024787521766663585 e multiplicamos por \dfrac{1458}{35}. Essa multiplicação dá, arredondando, aproximadamente 0,1033.

Resposta

P(X=8)=e^{-6}\dfrac{6^{8}}{8!}\approx0,1033

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