A chegada de ônibus em um terminal acontece a razão de 3 por minuto. Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, determine a probabilidade de:
chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos.
chegarem exatamente 8 ônibus em 2 minutos.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que cheguem exatamente 8 ônibus em 2 minutos, sabendo que a chegada de ônibus no terminal acontece à razão de 3 por minuto e que o processo segue distribuição de Poisson. Informações dadas:
- taxa (chegadas) =
ônibus por minuto; - intervalo de tempo considerado =
minutos; - evento pedido: “chegarem exatamente
ônibus em minutos”.
Passo 2
Agora vou explicar a fórmula que usamos (passo a passo, sem pressa).
A distribuição que descreve o número de eventos que ocorrem num intervalo de tempo quando os eventos são raros e independentes é dada por
A distribuição que descreve o número de eventos que ocorrem num intervalo de tempo quando os eventos são raros e independentes é dada por
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos (aqui: ônibus) no intervalo; -
é o número específico de eventos cujo a probabilidade queremos (aqui ); -
é a média (valor esperado) do número de eventos no intervalo considerado; é igual à taxa por unidade de tempo multiplicada pelo comprimento do intervalo; -
é a base do logaritmo natural ( ); -
é o fatorial de , ou seja .
Essa fórmula diz: multiplicamos(a queda exponencial) pelo termo que ajusta para o número exato .
Passo 3
Calcular
para o intervalo de
minutos. Como a taxa é
ônibus por minuto, então
Portanto usamos
na fórmula.
Passo 4
Aplicando a fórmula da Poisson com
e
, obtemos a expressão exata:
Aqui eu substituí
por
e
por
.
Passo 5
Vamos calcular passo a passo os componentes numéricos (para que você consiga fazer na prova sem pular etapas).
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Agora a fração inteira:
Simplificamos a fração dividindo por
duas vezes e por
e por
(para facilitar a conta à mão):
Logo a expressão simplificada é
Para obter um número prático, usamos a aproximação
e multiplicamos por
. Essa multiplicação dá, arredondando, aproximadamente
.