Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por:
f(x)=\lambda \exp \{-\lambda x\} I_{[0, \infty)}(x)
em que \lambda>0 é uma constante conhecida.
Calcule P(X>a+b \mid X>a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular P(X>a+b \mid X>a). As informações dadas são:
  • A variável aleatória X é contínua com densidade de probabilidade
f(x)=\lambda \exp\{-\lambda x\}\,I_{[0,\infty)}(x),
em que \lambda>0 é constante conhecida.
  • a e b são números reais não-negativos (implícito pelo suporte da distribuição).
  • A tarefa é encontrar a probabilidade condicional de que X seja maior que a+b dado que já sabemos X>a.

Passo 2

Lembre o conceito básico de probabilidade condicional: para dois eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui podemos tomar A=\{X>a+b\} e B=\{X>a\}. Observe que \{X>a+b\}\subseteq\{X>a\}, logo A\cap B=A. Assim
P(X>a+b\mid X>a)=\frac{P(X>a+b)}{P(X>a)}.
Expliquei cada símbolo: P(\cdot) é probabilidade, e as expressões \{X>t\} significam o evento de que a variável X excede t.

Passo 3

Precisamos agora calcular as duas probabilidades no lado direito. Para uma variável contínua com densidade f, a probabilidade de \{X>t\} é a integral da densidade de t até infinito:
P(X>t)=\int_{t}^{\infty} f(x)\,dx.
Substituindo f(x)=\lambda e^{-\lambda x} (para x\ge0), obtemos, para qualquer t\ge0,
P(X>t)=\int_{t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx.

Passo 4

Calcule a integral passo a passo. A primitiva de \lambda e^{-\lambda x} em x é -e^{-\lambda x}, porque \frac{d}{dx}(-e^{-\lambda x})=\lambda e^{-\lambda x}. Assim
\int_{t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{x=t}^{x=\infty}.
Avalie os limites: \lim_{x\to\infty}e^{-\lambda x}=0 (já que \lambda>0), então
\left[-e^{-\lambda x}\right]_{t}^{\infty}=0-(-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}.
Portanto, para qualquer t\ge0,
P(X>t)=e^{-\lambda t}.

Passo 5

Volte à expressão da probabilidade condicional com t=a+b no numerador e t=a no denominador:
P(X>a+b\mid X>a)=\frac{P(X>a+b)}{P(X>a)}=\frac{e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}.
Use a propriedade das potências/exponenciais para simplificar:
\frac{e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}=e^{-\lambda (a+b)+\lambda a}=e^{-\lambda b}.
Interpretação útil: o resultado não depende de a; isso é a propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial. Um exemplo numérico rápido: se \lambda=2 e b=3, então a probabilidade vale e^{-2\cdot 3}=e^{-6}.

Resposta

P(X>a+b\mid X>a)=e^{-\lambda b}

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