Seja
uma variável aleatória contínua com f.d.p. dada por:
em que
é uma constante conhecida.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações dadas são:
- A variável aleatória
é contínua com densidade de probabilidade
em que
é constante conhecida.
-
e são números reais não-negativos (implícito pelo suporte da distribuição). - A tarefa é encontrar a probabilidade condicional de que
seja maior que dado que já sabemos .
Passo 2
Lembre o conceito básico de probabilidade condicional: para dois eventos
e
com
,
Aqui podemos tomar
e
. Observe que
, logo
. Assim
Expliquei cada símbolo:
é probabilidade, e as expressões
significam o evento de que a variável
excede
.
Passo 3
Precisamos agora calcular as duas probabilidades no lado direito. Para uma variável contínua com densidade
, a probabilidade de
é a integral da densidade de
até infinito:
Substituindo
(para
), obtemos, para qualquer
,
Passo 4
Calcule a integral passo a passo. A primitiva de
em
é
, porque
. Assim
Avalie os limites:
(já que
), então
Portanto, para qualquer
,
Passo 5
Volte à expressão da probabilidade condicional com
no numerador e
no denominador:
Use a propriedade das potências/exponenciais para simplificar:
Interpretação útil: o resultado não depende de
; isso é a propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial. Um exemplo numérico rápido: se
e
, então a probabilidade vale
.