Cheque se os limites abaixo säo indeterminaçöes, e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3+x)^{3}-27}{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{x\to0} \frac{(3+x)^{3}-27}{x}
é uma indeterminação e, em caso afirmativo, calcular esse limite. O conteúdo é cálculo de limites envolvendo forma de tipo 0/0 e uso de expansão binomial para simplificação.

Passo 2

Para checar o tipo de indeterminação, substituímos x=0 em numerador e denominador:
Numerador: (3+0)^{3}-27 = 27-27 = 0.
Denominador: 0.
Logo, a expressão assume a forma 0/0, que é uma indeterminação.

Passo 3

Vamos expandir o binômio (3+x)^{3} usando a fórmula
(3+x)^{3} = 3^{3} + 3\cdot3^{2}x + 3\cdot3\,x^{2} + x^{3}.
Portanto,
(3+x)^{3} = 27 + 27x + 9x^{2} + x^{3}.

Passo 4

Substituindo na fração e fatorando x do numerador, obtemos
\frac{(3+x)^{3}-27}{x} = \frac{27 + 27x + 9x^{2} + x^{3} - 27}{x} = \frac{x\,(27 + 9x + x^{2})}{x} = 27 + 9x + x^{2}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite de 27 + 9x + x^{2} quando x\to0:
\lim_{x\to0} (27 + 9x + x^{2}) = 27.

Resposta

A expressão é indeterminada do tipo 0/0 e
\lim_{x\to0} \frac{(3+x)^{3}-27}{x} = 27.

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