Cheque se os limites abaixo säo indeterminaçöes, e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{4+x}-2}{x}
Isso envolve limites e identificação de indeterminações, e vamos usar a técnica de racionalização para resolver.

Passo 2

Ao tentar substituição direta, para x=0 o numerador fica \sqrt{4+0}-2=2-2=0 e o denominador fica 0. Logo é do tipo 0/0, ou seja, uma indeterminação.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos e dividimos pela conjugada do numerador:
\frac{\sqrt{4+x}-2}{x} = \frac{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}{x(\sqrt{4+x}+2)}.

Passo 4

No numerador, ao expandir, temos
(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)=(4+x)-4 = x.
Então a expressão simplifica para
\frac{x}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{4+x}+2}.

Passo 5

Agora o limite não é mais indeterminado e podemos substituir x=0:
\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{4+x}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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