Cheque se os limites abaixo säo indeterminaçöes, e calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 3} \frac{\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{3}}{t-3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\lim_{t\to 3}\frac{\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{3}}{t-3}
é uma indeterminação e, em seguida, calcular esse limite. O conteúdo é limites e, em particular, podemos usar a fatoração de diferença de cubos ou reconhecer a definição de derivada da função f(t)=t^{1/3} em t=3.

Passo 2

Ao substituir t=3 diretamente no quociente, obtemos
\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3}}{3-3}=\frac{0}{0},
logo trata-se de uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Para resolver, use a fatoração
t-3 = (\sqrt[3]{t})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = \bigl(\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{3}\bigr)\bigl((\sqrt[3]{t})^2+\sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2\bigr).
Assim,
\frac{\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{3}}{t-3} = \frac{1}{(\sqrt[3]{t})^2+\sqrt[3]{t}\,\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2}.

Passo 4

Agora basta fazer t\to3, o que leva \sqrt[3]{t}\to\sqrt[3]{3}. Denotando b=\sqrt[3]{3}, o denominador tende a
b^2 + b\cdot b + b^2 = 3b^2 = 3\bigl(3^{1/3}\bigr)^2 = 3\cdot 3^{2/3}.
Logo
\lim_{t\to3}\frac{\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{3}}{t-3} = \frac{1}{3\cdot3^{2/3}} = \frac{1}{3^{5/3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3\cdot3^{2/3}}=\frac{1}{3^{5/3}}

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