\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(10 x+7)^{2}}{(x+8)^{2}(x-2)}

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{(10x+7)^{2}}{(x+8)^{2}(x-2)}.
Esse é um limite de função racional para x\to\infty. Vamos usar comparação de graus de polinômios e, em seguida, fatorar potências de x para formalizar.

Passo 2

Identificamos os graus:
O numerador (10x+7)^2 é um polinômio de grau 2.
O denominador (x+8)^2(x-2) é um polinômio de grau 3.
Como o grau do denominador é maior, intuitivamente o limite tende a zero, mas vamos detalhar.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador pela maior potência de x, que é x^3. Assim:
\frac{(10x+7)^2}{(x+8)^2(x-2)} = \frac{x^2\bigl(10+\tfrac{7}{x}\bigr)^2}{x^3\bigl(1+\tfrac{8}{x}\bigr)^2\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)} = \frac{1}{x}\,\frac{\bigl(10+\tfrac{7}{x}\bigr)^2}{\bigl(1+\tfrac{8}{x}\bigr)^2\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)}.

Passo 4

Ao fazer x\to+\infty, temos \tfrac{7}{x}\to0, \tfrac{8}{x}\to0 e \tfrac{2}{x}\to0. Logo,
\frac{\bigl(10+\tfrac{7}{x}\bigr)^2}{\bigl(1+\tfrac{8}{x}\bigr)^2\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)} \longrightarrow \frac{10^2}{1^2\cdot1}=100,
porém o fator \tfrac{1}{x} no produto principal tende a 0. Portanto o limite total é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados