Cheque se os limites abaixo säo indeterminaçöes, e calcule os limites:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\sqrt{T+t}-\sqrt{1-t}}{t}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{t \to 0}\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t},
queremos primeiro verificar se ao substituir t=0 obtemos uma indeterminação e depois calcular o valor desse limite.

Passo 2

Substituindo t=0 no numerador e no denominador vemos: \sqrt{1+0}-\sqrt{1-0}=1-1=0 e o denominador é 0.
Logo temos a forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação de tipo 0/0.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado do numerador, isto é, por \sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}. Assim,
\frac{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}{t} \;\times\; \frac{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}} = \frac{(1+t)-(1-t)}{t\bigl(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}\bigr)}.

Passo 4

No numerador temos
(1+t)-(1-t)=1+t-1+t=2t,
logo a fração vira
\frac{2t}{t\bigl(\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite de t\to0 na forma simplificada:
\lim_{t\to0}\frac{2}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}} =\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} =\frac{2}{1+1} =1.

Resposta

O limite existe (era uma indeterminação do tipo 0/0) e vale 1.

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