3- Uma superfície cuja temperatura é mantida a 400^{\circ} \mathrm{C} está separada de uma corrente de ar por uma camada de isolante térmico com espessura de 25 mm e condutividade térmica de 0,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m}. K. Se a temperatura do ar é de 35^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de filme entre o ar e a superfície externa do material isolante é 500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}, qual é a temperatura da superfície externa do isolamento?

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede uma temperatura:
  • Temperatura da superfície interna (lado quente): T_i = 400^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura do isolante: L = 25\\ \mathrm{mm}.
  • Condutividade térmica do isolante: k = 0{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura do ar (fluido): T_\infty = 35^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de filme (convecção) entre o ar e a superfície externa: h = 500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O que é pedido:
  • Encontrar a temperatura da superfície externa do isolamento, chamarei essa temperatura de T_s.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vou usar (explicação didática, passo a passo):
  • Em regime estacionário unidimensional, a transferência de calor entre a superfície interna a T_i e o ar a T_\infty ocorre por condução através do isolante seguida de convecção do exterior para o ar. Essas duas “dificuldades” ao fluxo de calor se somam como resistências térmicas em série.
  • É conveniente trabalhar por unidade de área: o fluxo de calor por unidade de área (fluxo de calor normal) é denotado por q'' e tem unidades \mathrm{W/m^2}.
  • Resistência térmica por unidade de área devido à condução através de um material plano é
R''_{\text{cond}}=\frac{L}{k},
onde L é a espessura (m) e k a condutividade (W/(m·K)). Essa resistência mede quantos kelvin de diferença são necessários para transferir 1\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Resistência térmica por unidade de área devido à convecção na superfície é
R''_{\text{conv}}=\frac{1}{h},
onde h é o coeficiente de convecção (W/(m^2·K)).
  • A resistência total por unidade de área é a soma
R''_{\text{tot}}=R''_{\text{cond}}+R''_{\text{conv}}=\frac{L}{k}+\frac{1}{h}.
  • O fluxo térmico por unidade de área é dado por uma lei tipo “Ohm térmico”:
q''=\frac{T_i-T_\infty}{R''_{\text{tot}}}.
  • A temperatura da superfície externa T_s está entre T_i e T_\infty. Pode-se obtê-la por convecção (diferença entre T_s e T_\infty) ou por condução (diferença entre T_i e T_s). As duas expressões equivalentes são
T_s = T_\infty + \frac{q''}{h} \qquad\text{ou}\qquad T_s = T_i - q''\frac{L}{k}.
Essas equações vêm de q''=h(T_s-T_\infty) e de q''=(T_i-T_s)/(L/k) respectivamente.

Passo 3

Calcular numericamente cada termo (mostrando todas as contas):
  • Converter espessura para metros:
L = 25\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Calcular R''_{\text{cond}}=\dfrac{L}{k}:
R''_{\text{cond}}=\frac{0{,}025}{0{,}1}=0{,}25\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  • Calcular R''_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h}:
R''_{\text{conv}}=\frac{1}{500}=0{,}002\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  • Resistência total por unidade de área:
R''_{\text{tot}}=0{,}25+0{,}002=0{,}252\\ \mathrm{K\cdot m^2/W}.
  • Diferença de temperatura entre interior e ar:
T_i-T_\infty=400-35=365\\ \mathrm{K}.
  • Fluxo de calor por unidade de área:
q''=\frac{T_i-T_\infty}{R''_{\text{tot}}}=\frac{365}{0{,}252}.
Calcule essa divisão:
q''=\frac{365}{0{,}252}=\frac{365000}{252}=\frac{91250}{63}\approx 1448{,}4126984127\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Calcular a temperatura da superfície externa T_s usando a relação de convecção (mais direta):
  • Primeiro o salto térmico convectivo é q''/h:
\frac{q''}{h}=\frac{1448{,}4126984127}{500}=2{,}8968253968254\\ \mathrm{K}.
  • Assim
T_s=T_\infty+\frac{q''}{h}=35+2{,}8968253968254=37{,}8968253968254^\circ\mathrm{C}.
(Verificação alternativa: usando a queda por condução q''(L/k)=1448{,}4126984127\times0{,}25=362{,}10317460317 e T_s=400-362{,}10317460317=37{,}89682539683^\circ\mathrm{C}, obtém-se o mesmo valor dentro do arredondamento.)

Passo 5

Interpretação curta e incentivo:
  • O isolamento é relativamente bom (grande queda numa pequena espessura por causa de k baixo), e o coeficiente h=500 é alto (ar forçado ou filme muito eficiente), por isso a superfície externa fica muito perto da temperatura do ar — aqui apenas cerca de 2{,}9^\circ\mathrm{C} acima do ar. Boa notícia: o isolante está fazendo seu trabalho.
  • Você conseguiu: aplicamos resistências térmicas em série, calculamos o fluxo e a temperatura de superfície. É um procedimento padrão em provas — decore a sequência: converter unidades, calcular resistências, obter q'', depois T_s. Vai dar certo na prova!

Resposta

T_s=37{,}90^\circ\mathrm{C}

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