Têm-se três cilindros de mesma seção transversal, sendo um de cobre, um de latão e um de aço cujos comprimentos são respectivamente 46 \mathrm{~cm}, 13 \mathrm{~cm} e 12 cm . Soldam-se os cilindros formando um perfil Y. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a 100^{\circ} \mathrm{C}, e os dos cilindros de latão e aço a 0^{\circ} \mathrm{C}. Supor que as superfícies laterais dos cilindros estejam isoladas termicamente, as condutividades do cobre, latão e aço valem respectivamente 0,92 , 026 e 0,12 expressas em W/m.K. Calcule a temperatura na junção.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Três cilindros de mesma seção transversal (mesma área A), unidos numa junção em Y. Os comprimentos e materiais são (peguei estes dados do enunciado):
    • Cobre: L_{\rm Cu}=46\\ \mathrm{cm}=0,46\\ \mathrm{m}.
    • Latão: L_{\rm La}=13\\ \mathrm{cm}=0,13\\ \mathrm{m}.
    • Aço: L_{\rm Aço}=12\\ \mathrm{cm}=0,12\\ \mathrm{m}ç.
  • As temperaturas nos extremos livres (dados do enunciado):
    • Extremidade livre do cobre: T_{\rm Cu-end}=100^\circ\mathrm{C}.
    • Extremidades livres do latão e do aço: T_{\rm La-end}=T_{\rm Aço-end}=0^\circ\mathrm{C}ç.
  • Condutividades térmicas (dados do enunciado):
    • Cobre: k_{\rm Cu}=0,92\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Latão: k_{\rm La}=0,26\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Aço: k_{\rm Aço}=0,12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
  • Condição adicional dada: superfícies laterais isoladas termicamente (logo a troca de calor é unidimensional ao longo de cada cilindro).
  • O que se pede: calcular a temperatura na junção dos três cilindros (chamarei essa temperatura de T_j).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (a “ferramenta” básica).
  • Em regime estacionário (estado estacionário), a transferência de calor unidimensional num cilindro homogêneo e com faces transversais a temperaturas T_1 e T_2 é dada pela lei de Fourier, que para um caso com gradiente linear vale:
Q = k A \frac{T_1-T_2}{L},
onde:
  • Q é a taxa de calor (fluxo térmico) em watts \mathrm{(W)};
  • k é a condutividade térmica do material \mathrm{(W/(m\cdot K))};
  • A é a área da seção transversal do cilindro \mathrm{(m^2)};
  • L é o comprimento do cilindro \mathrm{(m)};
  • T_1-T_2 é a diferença de temperatura entre as extremidades (qualquer escala de temperatura serve para diferenças, portanto usar ^\circ\mathrm{C} é ok).
  • Importante: se a superfície lateral está isolada e estamos em regime estacionário, a distribuição de temperatura ao longo de cada cilindro é linear e o fluxo Q é constante em cada cilindro.
  • No nó (junção) a energia é conservada: a soma algébrica dos fluxos que chegam/saem deve ser zero.

Passo 3

Escrever o fluxo térmico em cada cilindro (orientação e sinais).
  • Denotando por T_j a temperatura na junção, para o cilindro de cobre (fluxo do extremo quente 100^\circ\mathrm{C} para a junção) temos:
Q_{\rm Cu}=k_{\rm Cu}\,A\,\frac{100-T_j}{L_{\rm Cu}}.
  • Para o cilindro de latão (fluxo da junção para o extremo frio 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\rm La}=k_{\rm La}\,A\,\frac{T_j-0}{L_{\rm La}}=k_{\rm La}\,A\,\frac{T_j}{L_{\rm La}}.
  • Para o cilindro de aço (fluxo da junção para o extremo frio 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\rm Aço}=k_{\rm Aço}\,A\,\frac{T_j-0}{L_{\rm Aço}}=k_{\rm Aço}\,A\,\frac{T_j}{L_{\rm Aço}}.ççççç
  • Observação de sinais: todos Q acima são considerados positivos no sentido real do fluxo que escrevemos (no cobre do quente para a junção; no latão e aço da junção para o frio).

Passo 4

Conservação de energia no nó (junção).
  • Em regime estacionário, a potência que chega à junção do cobre atravessando para a junção deve sair pelos dois ramos (latão e aço). Portanto:
Q_{\rm Cu}=Q_{\rm La}+Q_{\rm Aço}.ç

Passo 5

Substituir as expressões de Q e simplificar (eliminar A) para obter uma equação em T_j.
  • Substituindo:
k_{\rm Cu}\,A\,\frac{100-T_j}{L_{\rm Cu}} = k_{\rm La}\,A\,\frac{T_j}{L_{\rm La}} + k_{\rm Aço}\,A\,\frac{T_j}{L_{\rm Aço}}.çç
  • Como A aparece em todos os termos (os cilindros têm mesma seção), podemos dividir por A e eliminar:
k_{\rm Cu}\,\frac{100-T_j}{L_{\rm Cu}} = k_{\rm La}\,\frac{T_j}{L_{\rm La}} + k_{\rm Aço}\,\frac{T_j}{L_{\rm Aço}}.çç
  • Colocando todos os termos com T_j do mesmo lado:
k_{\rm Cu}\,\frac{100}{L_{\rm Cu}} = T_j\!\left(\frac{k_{\rm Cu}}{L_{\rm Cu}} + \frac{k_{\rm La}}{L_{\rm La}} + \frac{k_{\rm Aço}}{L_{\rm Aço}}\right).çç
  • Assim isolamos T_j:
T_j = \frac{k_{\rm Cu}\,\dfrac{100}{L_{\rm Cu}}}{\dfrac{k_{\rm Cu}}{L_{\rm Cu}} + \dfrac{k_{\rm La}}{L_{\rm La}} + \dfrac{k_{\rm Aço}}{L_{\rm Aço}} }.çç

Passo 6

Converter comprimentos para metros (já listado no Passo 1) e substituir os valores numéricos.
  • Valores a usar (peguei do enunciado):
    • k_{\rm Cu}=0,92, k_{\rm La}=0,26, k_{\rm Aço}=0,12ç (unidades \mathrm{W/(m\cdot K)}).
    • L_{\rm Cu}=0,46\\ \mathrm{m}, L_{\rm La}=0,13\\ \mathrm{m}, L_{\rm Aço}=0,12\\ \mathrm{m}ç.
  • Calculemos primeiro o numerador:
k_{\rm Cu}\,\frac{100}{L_{\rm Cu}} = 0,92\cdot\frac{100}{0,46}.
  • Como 0,92\cdot 100 = 92, temos
0,92\cdot\frac{100}{0,46}=\frac{92}{0,46}=200.
  • Agora os termos do denominador:
\frac{k_{\rm Cu}}{L_{\rm Cu}}=\frac{0,92}{0,46}=2,
\frac{k_{\rm La}}{L_{\rm La}}=\frac{0,26}{0,13}=2,
\frac{k_{\rm Aço}}{L_{\rm Aço}}=\frac{0,12}{0,12}=1.çç
  • Somando:
\frac{k_{\rm Cu}}{L_{\rm Cu}}+\frac{k_{\rm La}}{L_{\rm La}}+\frac{k_{\rm Aço}}{L_{\rm Aço}}=2+2+1=5.çç

Passo 7

Calcular T_j e comentar a plausibilidade.
  • Substituindo numerador e denominador:
T_j=\frac{200}{5}=40.
  • Em unidades de temperatura isso é 40^\circ\mathrm{C}.
  • Checagem rápida de plausibilidade: T_j fica entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C} (ok). Como há dois ramos frios relativamente curtos e condutividades não muito distintas, faz sentido a junção estar mais próxima do frio do que do quente — o valor 40^\circ\mathrm{C} é consistente.

Resposta

40^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados