Têm-se três cilindros de mesma seção transversal, sendo um de cobre, um de latão e um de aço cujos comprimentos são respectivamente
e 12 cm . Soldam-se os cilindros formando um perfil Y. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a
, e os dos cilindros de latão e aço a
. Supor que as superfícies laterais dos cilindros estejam isoladas termicamente, as condutividades do cobre, latão e aço valem respectivamente 0,92 , 026 e 0,12 expressas em W/m.K. Calcule a temperatura na junção.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Três cilindros de mesma seção transversal (mesma área
), unidos numa junção em Y. Os comprimentos e materiais são (peguei estes dados do enunciado): - Cobre:
. - Latão:
. - Aço:
.
- Cobre:
- As temperaturas nos extremos livres (dados do enunciado):
- Extremidade livre do cobre:
. - Extremidades livres do latão e do aço:
.
- Extremidade livre do cobre:
- Condutividades térmicas (dados do enunciado):
- Cobre:
. - Latão:
. - Aço:
.
- Cobre:
- Condição adicional dada: superfícies laterais isoladas termicamente (logo a troca de calor é unidimensional ao longo de cada cilindro).
- O que se pede: calcular a temperatura na junção dos três cilindros (chamarei essa temperatura de
).
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (a “ferramenta” básica).
- Em regime estacionário (estado estacionário), a transferência de calor unidimensional num cilindro homogêneo e com faces transversais a temperaturas
e é dada pela lei de Fourier, que para um caso com gradiente linear vale:
onde:
-
é a taxa de calor (fluxo térmico) em watts ; -
é a condutividade térmica do material ; -
é a área da seção transversal do cilindro ; -
é o comprimento do cilindro ; -
é a diferença de temperatura entre as extremidades (qualquer escala de temperatura serve para diferenças, portanto usar é ok). - Importante: se a superfície lateral está isolada e estamos em regime estacionário, a distribuição de temperatura ao longo de cada cilindro é linear e o fluxo
é constante em cada cilindro. - No nó (junção) a energia é conservada: a soma algébrica dos fluxos que chegam/saem deve ser zero.
Passo 3
Escrever o fluxo térmico em cada cilindro (orientação e sinais).
- Denotando por
a temperatura na junção, para o cilindro de cobre (fluxo do extremo quente para a junção) temos:
- Para o cilindro de latão (fluxo da junção para o extremo frio
):
- Para o cilindro de aço (fluxo da junção para o extremo frio
):
- Observação de sinais: todos
acima são considerados positivos no sentido real do fluxo que escrevemos (no cobre do quente para a junção; no latão e aço da junção para o frio).
Passo 4
Conservação de energia no nó (junção).
- Em regime estacionário, a potência que chega à junção do cobre atravessando para a junção deve sair pelos dois ramos (latão e aço). Portanto:
Passo 5
Substituir as expressões de
e simplificar (eliminar
) para obter uma equação em
.
- Substituindo:
- Como
aparece em todos os termos (os cilindros têm mesma seção), podemos dividir por e eliminar:
- Colocando todos os termos com
do mesmo lado:
- Assim isolamos
:
Passo 6
Converter comprimentos para metros (já listado no Passo 1) e substituir os valores numéricos.
- Valores a usar (peguei do enunciado):
-
, , (unidades ). -
, , .
-
- Calculemos primeiro o numerador:
- Como
, temos
- Agora os termos do denominador:
- Somando:
Passo 7
Calcular
e comentar a plausibilidade.
- Substituindo numerador e denominador:
- Em unidades de temperatura isso é
. - Checagem rápida de plausibilidade:
fica entre e (ok). Como há dois ramos frios relativamente curtos e condutividades não muito distintas, faz sentido a junção estar mais próxima do frio do que do quente — o valor é consistente.