O enunciado nos dá a função f(x)=3x^{3}+2x e pede para determinar o valor de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5).
Informações importantes fornecidas:
A função é f(x)=3x^{3}+2x.
O que se quer é a derivada da inversa de f no ponto 5, isto é \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5).
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): para achar \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5) precisamos de uma relação que ligue a derivada da inversa com a derivada da função original. Vou deduzir essa relação usando uma função inversa genérica g tal que g=f^{-1}. Não vou usar jargões pesados, só a conta que você será capaz de reproduzir na prova.
Passo 3
Deduzição da fórmula para a derivada da inversa (a chamada regra da derivada da função inversa).
Se g=f^{-1}, então por definição f(g(y))=y para todo y no domínio de g.
Derivando ambos os lados em relação a y (aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de uma composição é o produto das derivadas internas e externas), obtemos
f'(g(y))\cdot g'(y)=1.
Isolando g'(y) (que é \left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)), vem a fórmula fundamental:
Explicando as variáveis: y é o ponto onde queremos a derivada da inversa (no nosso problema y=5), g(y)=f^{-1}(y) é o x tal que f(x)=y, e f'(x) é a derivada da função original avaliada nesse x.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema: para calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5) precisamos de
encontrar x tal que f(x)=5 (ou seja, x=f^{-1}(5)), e
calcular f'(x) e então fazer \left(f^{-1}\right)^{\prime}(5)=1/f'(x).
Vamos achar o x resolvendo a equação
3x^{3}+2x=5.
Isso é
3x^{3}+2x-5=0.
Tentar raízes simples: testar x=1:
3\cdot1^{3}+2\cdot1-5=3+2-5=0.
Logo x=1 é uma raiz, ou seja f(1)=5. Portanto f^{-1}(5)=1.
Breto rápido de justificativa (para ficar tranquilo na prova): como f'(x)=9x^{2}+2>0 para todo x, a função f é estritamente crescente e portanto invertível em todo \mathbb{R}. Assim a raiz que encontramos em x=1 é única e a aplicação da fórmula da derivada da inversa é válida.