(CIABA - 2002) Existem duas barras de metal A e B . O comprimento da barra A é 0,8 do comprimento da barra B para uma mesma temperatura inicial. O coeficiente de dilatação volumétrico do material da barra B é 1 / 5 do coeficiente de dilatação volumétrico do material da barra A. O coeficiente de dilatação linear da barra A é 1/3 10^-4 ^circ C^-1. Para que as duas barras atinjam o mesmo comprimento, o aumento na temperatura De<a T de ambas as barras deverá ser. (Reposta: 2000^circ C )

Passo 1

O enunciado dá duas barras metálicas A e B, com comprimentos iniciais LA0 e LB0 à mesma temperatura. Sabe-se que
LA0=0,8,LB0
O coeficiente de dilatação linear da barra A é
alphaA=13times10^-4,^circC^-1,
e o coeficiente de dilatação volumétrico do material de B é tfrac15 do coeficiente volumétrico de A. Como a relação entre coeficiente volumétrico beta e linear alpha em material isotrópico é
beta=3,alpha,
vamos usar isso para achar o coeficiente de dilatação linear de B.

Passo 2

Para o material de A vale betaA=3,alphaA. Como betaB=tfrac15,betaA, temos
betaB=15,3,alphaA =35,alphaA
Então o coeficiente linear de B é
alphaB=betaB3 =13,35,alphaA =15,alphaA

Passo 3

Após um aumento de temperatura De<a T, os comprimentos finais serão
LA = LA0l(1+alphaA,De<a Tr), LB = LB0l(1+alphaB,De<a Tr)
Queremos LA=LB. Substituindo LA0=0,8,LB0 e alphaB=tfrac15alphaA, obtemos
0,8,LB0l(1+alphaA,De<a Tr) ,=, LB0l(1+alphaA5,De<a Tr)
Cancelando LB0 e rearranjando:
0,8 + 0,8,alphaA,De<a T = 1 + alphaA5,De<a T Longrightarrow 0,8,alphaA,De<a T - alphaA5,De<a T =0,2
Fatorando alphaA,De<a T:
alphaA,De<a Tl(0,8 - tfrac15r) =0,2 Longrightarrow alphaA,De<a T,(0,6)=0,2 Longrightarrow alphaA,De<a T=0,20,6=13

Passo 4

Substituindo alphaA=tfrac13times10^-4,^circC^-1 em
alphaA,De<a T=tfrac13, vem
13times10^-4,De<a T = 13 Longrightarrow 10^-4,De<a T = 1 Longrightarrow De<a T = 10^4,^circC

Resposta

10,000,^circC

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