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Sem comparar com as equações do texto verifique, aplicando o operador derivada, se há alguma incompatibilidade entre a equação da posição e a da velocidade.
2) Qual é a condição matemática que a equação da velocidade deve satisfazer no lançamento vertical para que se possa encontrar o tempo de subida. E explique o valor utilizado nessa condição.
3) Um corpo de massa de 10 kg é solto de uma altura de 5 m . Seja g=9,8 m / s^2 o módulo da aceleração da gravidade.
a) Considere o referencial com a origem O no solo e o eixo z apontado para cima e monte as equações de movimento.
b) Considere o referencial com a origem O na altura de 5 m e o eixo z apontado para baixo e monte as equações de movimento

Passo 1

O enunciado trata da cinemática do movimento vertical uniformemente variado, com posição z(t) e velocidade v(t). Vamos:
  1. Verificar se, ao derivarmos z(t), obtemos exatamente v(t) (incompatibilidade).
  2. Determinar a condição matemática em v(t) para achar o tempo de subida.
  3. Escrever as equações de movimento para dois referenciais distintos.

Passo 2

A equação geral da posição é
z(t)=z0+v0,t-tfrac12g,t^2,
onde g é o módulo da aceleração da gravidade (positiva). Aplicando o operador derivada em relação a t:
dzdt=v0-g,t
Mas a equação da velocidade vertical é justamente
v(t)=v0-g,t
Como dzdt=v(t), não há incompatibilidade entre as equações de posição e de velocidade.

Passo 3

No lançamento vertical, o tempo de subida ts corresponde ao instante em que a velocidade se anula (o corpo para momentaneamente no ponto mais alto). Logo, a condição é
v(ts)=0

Passo 4

Substituindo na equação de v(t):
0=v0-g,ts Longrightarrow ts=v0g
Usa-se v(ts)=0 porque, no ponto mais alto, a velocidade instantânea vale zero.

Passo 5

Referencial com origem no solo e eixo hat z para cima. Dado que o corpo parte do repouso em z0=5:m:
z(t)=5+0cdot t-tfrac12,(9,8),t^2=5-4,9,t^2,
v(t)=0-9,8,t=-9,8,t,
a(t)=-9,8:m/s^2

Passo 6

Referencial com origem em 5:m e eixo hat z para baixo. Aqui z0=0 e o corpo parte do repouso, mas a aceleração é positiva para baixo:
z(t)=0+0cdot t+tfrac12,(9,8),t^2=4,9,t^2,
v(t)=9,8,t,
a(t)=9,8:m/s^2

Resposta

  1. Não há incompatibilidade: dzdt=v(t).
  2. A equação de velocidade deve satisfazer v(ts)=0, pois no ápice a velocidade instantânea é zero.
    3a) z(t)=5-4,9,t^2,;v(t)=-9,8,t,;a=-9,8.
    3b) z(t)=4,9,t^2,;v(t)=9,8,t,;a=9,8.

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