O ciclo Diesel é um ciclo termodinâmico utilizado em motores de combustão interna de veículos pesados. Este ciclo é dividido em quatro etapas: 1) Compressão adiabática reversível; 2) Aquecimento isobárico; 3) Expansão adiabática reversível; 4) Resfriamento a volume constante. Um ciclo Diesel padrão apresenta taxa de compressão igual a 20 (razão \mathrm{V}_{1} / \mathrm{V}_{2} ), e o calor transferido ao fluido de trabalho, por ciclo, é 1800 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1}. Sabendo que no início do processo de compressão a pressão é igual a 0,1 \mathrm{MPa} e a temperatura é 15^{\circ} \mathrm{C}, responda as perguntas abaixo. Assuma que o calor entra no sistema na etapa 2 e que o fluido de trabalho é um gás ideal ( \mathrm{Cv}=1,386 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~g}^{-1} ).
a) Construa o diagrama p versus V do ciclo termodinâmico. ( 0,25 ponto)
b) Determine a temperatura em cada etapa do ciclo. (1,0 ponto)
c) Calcule \Delta \mathrm{U}, \mathrm{W}, \mathrm{Q}, \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{S} para cada etapa individual do ciclo. ( 0,5 ponto)
d) Calcule \Delta \mathrm{U}, \mathrm{W}, \mathrm{Q}, \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{S} no ciclo. ( 0,5 ponto)
e) Calcule a eficiência do ciclo termodinâmico. ( 0,25 ponto)

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre um ciclo Diesel padrão. Vou listar explicitamente o que foi dado e quais perguntas eu tenho que responder:
Dados fornecidos (vou colocar cada valor em notação clara):
\text{Razão de compressão: } r=\frac{V_{1}}{V_{2}}=20ãã
\text{Calor adicionado (por ciclo e por kg): } q_{in}=1800\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}
\text{Estado 1: } p_{1}=0{,}1\\ \mathrm{MPa}=100\\ \mathrm{kPa},\quad T_{1}=15^\circ\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}
C_{v}=1{,}386\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot g^{-1}}=1{,}386\\ \mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}
Condições/assunções extra (implícitas e necessárias):
  • O fluido de trabalho é gás ideal.
  • Vou tomar a constante dos gases para o ar como \;R=0{,}287\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}} (valor padrão).
  • Processo 1→2: compressão adiabática reversível (isentropica).
  • Processo 2→3: aquecimento isobárico (todo o q_{in} entra aqui).
  • Processo 3→4: expansão adiabática reversível (isentropica).
  • Processo 4→1: resfriamento a volume constante.
Perguntas que devo responder:
a) Construir o diagrama p versus V do ciclo (descrever e fornecer pontos característicos).
b) Determinar a temperatura em cada estado: T_{1},T_{2},T_{3},T_{4}.
c) Calcular para cada etapa individual ( 1\to2,\;2\to3,\;3\to4,\;4\to1) os valores de \Delta U,\;W,\;Q,\;\Delta H,\;\Delta S (por kg).
d) Calcular esses mesmos termos para o ciclo completo (soma).
e) Calcular a eficiência do ciclo: \eta = \dfrac{W_{net}}{Q_{in}}.
Observação: a partir daqui começo a resolver e explicar passo a passo como se fosse na prova.

Passo 2

Primeiro vou definir fórmulas e calcular constantes úteis (explicando o que são).
  1. Relações e definições básicas (explicação):
  • Para um gás ideal por unidade de massa: \;pV = R T, onde
    • p é a pressão (em \mathrm{kPa} ou \mathrm{MPa}),
    • V é o volume específico ( \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}}),
    • R é a constante do gás ( \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}),
    • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).
  • Calores e energia interna:
    • \Delta U = C_{v}\,\Delta T (para gás ideal por kg).
    • \Delta H = C_{p}\,\Delta T com C_{p}=C_{v}+R.
  • Entropia (processo reversível ideal):
    • Para processo com variação de temperatura e volume: \displaystyle \Delta S = C_{v}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) + R\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
    • Em processos isobáricos/reversíveis: \Delta S = C_{p}\ln(T_{2}/T_{1}).
    • Em adiabático reversível (isentrópico): \Delta S=0.
  • Para processo politrópico/isentrópico: relação entre T e V:
    • Isentrópico (adiabático reversível): \displaystyle T_{2}=T_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}, onde \gamma=\dfrac{C_{p}}{C_{v}}.
  1. Calcule C_{p} e \gamma:
C_{v}=1{,}386\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}},\qquad R=0{,}287\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}
C_{p}=C_{v}+R=1{,}386+0{,}287=1{,}673\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}
\gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}=\frac{1{,}673}{1{,}386}\approx1{,}207
  1. Calcule T_{2} (compressão isentrópica 1→2):
T_{2}=T_{1}\,r^{\gamma-1}=288{,}15\cdot 20^{\,1{,}207-1}=288{,}15\cdot 20^{0{,}207}
Calcule 20^{0{,}207}: \;20^{0{,}207}\approx1{,}860. Logo
T_{2}\approx288{,}15\cdot1{,}860\approx536{,}45\\ \mathrm{K}.
  1. Calcule T_{3} usando que todo q_{in} entra em 2→3 (processo isobárico):
  • Para isobárico: q_{in}=C_{p}(T_{3}-T_{2}). Assim
T_{3}=T_{2}+\frac{q_{in}}{C_{p}}=536{,}45+\frac{1800}{1{,}673}
\frac{1800}{1{,}673}\approx1076{,}20\\ \mathrm{K}\quad\Rightarrow\quad T_{3}\approx1612{,}65\\ \mathrm{K}.
  • Como p é constante em 2→3, a relação T\propto V dá a razão de corte:
\text{razão de corte } r_c=\frac{V_{3}}{V_{2}}=\frac{T_{3}}{T_{2}}=\frac{1612{,}65}{536{,}45}\approx3{,}005.ã
  1. Calcule T_{4} (expansão isentrópica 3→4):
    Relação isentrópica entre 3 e 4: T_{3}V_{3}^{\gamma-1}=T_{4}V_{4}^{\gamma-1}. Como V_{4}=V_{1},
T_{4}=T_{3}\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1}=T_{3}\left(\frac{V_{3}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}.
Mas \displaystyle\frac{V_{3}}{V_{1}}=\frac{V_{3}}{V_{2}}\cdot\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{r_{c}}{r}=\frac{3{,}005}{20}=0{,}15025.
T_{4}=1612{,}65\cdot(0{,}15025)^{0{,}207}\approx1612{,}65\cdot0{,}675\approx1088{,}60\\ \mathrm{K}.
  1. Calculando volumes específicos (para desenhar o diagrama e termos numéricos):
    Usando \;V=\dfrac{R T}{p} com p em \mathrm{kPa}, R em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^{3}}=1\\ \mathrm{kJ}.
V_{1}=\frac{R T_{1}}{p_{1}}=\frac{0{,}287\cdot288{,}15}{100}\approx0{,}8276\\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}}
V_{2}=\frac{V_{1}}{r}=\frac{0{,}8276}{20}\approx0{,}04138\\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}}
V_{3}=r_{c}V_{2}=3{,}005\cdot0{,}04138\approx0{,}1243\\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}}
V_{4}=V_{1}\approx0{,}8276\\ \mathrm{m^{3}\cdot kg^{-1}}
  1. Calcule pressões nos estados (verificação):
  • Isentrópico 1→2: p_{2}=p_{1}r^{\gamma}.
r^{\gamma}=20^{1{,}207}\approx37{,}13\quad\Rightarrow\quad p_{2}\approx100\cdot37{,}13\approx3713\\ \mathrm{kPa}=3{,}713\\ \mathrm{MPa}.
  • p_{3}=p_{2} (isobárico).
  • Isentrópico 3→4: p_{4}=p_{3}\left(\dfrac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma}.
p_{4}=3713\cdot(0{,}15025)^{1{,}207}\approx3713\cdot0{,}1015\approx376{,}9\\ \mathrm{kPa}=0{,}3769\\ \mathrm{MPa}.
Resumo numérico dos estados (útil para o diagrama p\times V):
\begin{aligned} &T_{1}=288{,}15\\ \mathrm{K},\quad p_{1}=100\\ \mathrm{kPa},\quad V_{1}=0{,}8276\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ &T_{2}=536{,}45\\ \mathrm{K},\quad p_{2}=3713\\ \mathrm{kPa},\quad V_{2}=0{,}04138\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ &T_{3}=1612{,}65\\ \mathrm{K},\quad p_{3}=3713\\ \mathrm{kPa},\quad V_{3}=0{,}1243\\ \mathrm{m^{3}/kg},\\\ &T_{4}=1088{,}60\\ \mathrm{K},\quad p_{4}=376{,}9\\ \mathrm{kPa},\quad V_{4}=0{,}8276\\ \mathrm{m^{3}/kg}. \end{aligned}
Interpretação para o diagrama p vs V (como desenhar na prova):
  • Ponto 1 em (V_{1},p_{1}).
  • Curva 1→2: adiabática (isentrópica) descendente fortemente para a direita → esquerda (compressão) até (V_{2},p_{2}).
  • Linha 2→3: horizontal (isobárica) de V_{2} para V_{3}.
  • Curva 3→4: adiabática (isentrópica) de V_{3} para V_{4}=V_{1} (expansão).
  • Linha 4→1: vertical em V=V_{1} (isochoric) descendo de p_{4} para p_{1}.
    No eixo p use escala log ou linear que permita mostrar p_{1}=100\\ \mathrm{kPa} até p_{2}=3713\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Agora eu calculo os termos energéticos e entropia para cada etapa, mostrando como aplicar as fórmulas (cada etapa por vez).
Convenção de sinais: W é trabalho feito pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho). Primeira lei na forma:
\Delta U = Q - W.
Etapa 1\to2 (adiabática reversível, Q_{12}=0, isentrópica):
  • \displaystyle \Delta U_{12}=C_{v}(T_{2}-T_{1})=1{,}386\,(536{,}45-288{,}15)
\Delta U_{12}=1{,}386\cdot248{,}30\approx344{,}2\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Como Q_{12}=0, da 1ª lei W_{12}=-\Delta U_{12}:
W_{12}=-344{,}2\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}\quad(\text{o trabalho é negativo: trabalho feito SOBRE o fluido}).é
  • \displaystyle \Delta H_{12}=C_{p}(T_{2}-T_{1})=1{,}673\cdot248{,}30\approx415{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Entropia: é isentrópica, então \Delta S_{12}=0.
Etapa 2\to3 (isobárica, calor entra: Q_{23}=q_{in}=1800\\ \mathrm{kJ/kg}):
  • \displaystyle \Delta T_{23}=T_{3}-T_{2}=1612{,}65-536{,}45=1076{,}20\\ \mathrm{K}.
  • \displaystyle \Delta U_{23}=C_{v}\Delta T=1{,}386\cdot1076{,}20\approx1491{,}1\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Trabalho em processo isobárico: W_{23}=p\,(V_{3}-V_{2}). Usando pV=RT W_{23}=R\Delta T:
W_{23}=R(T_{3}-T_{2})=0{,}287\cdot1076{,}20\approx308{,}9\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Verificação de energia: Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=1491{,}1+308{,}9\approx1800\\ \mathrm{kJ/kg} (consistente).
  • \displaystyle \Delta H_{23}=C_{p}\Delta T=1{,}673\cdot1076{,}20=1800\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} (coincide com Q_{23} em processo isobárico).
  • Entropia (processo reversível, isobárico): \displaystyle \Delta S_{23}=C_{p}\ln\!\left(\frac{T_{3}}{T_{2}}\right)=1{,}673\ln\!\left(\frac{1612{,}65}{536{,}45}\right).
\Delta S_{23}\approx1{,}673\cdot1{,}0997\approx1{,}839\\ \mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}.
Etapa 3\to4 (adiabática reversível, Q_{34}=0, isentrópica):
  • \displaystyle \Delta U_{34}=C_{v}(T_{4}-T_{3})=1{,}386(1088{,}60-1612{,}65)
\Delta U_{34}=1{,}386\cdot(-524{,}05)\approx-726{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Como Q_{34}=0, W_{34}=-\Delta U_{34}:
W_{34}=726{,}4\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}\quad(\text{trabalho positivo: o sistema realiza trabalho}).
  • \displaystyle \Delta H_{34}=C_{p}(T_{4}-T_{3})=1{,}673\cdot(-524{,}05)\approx-876{,}6\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Entropia: isentrópico → \Delta S_{34}=0.
Etapa 4\to1 (volume constante, W_{41}=0):
  • \displaystyle \Delta U_{41}=C_{v}(T_{1}-T_{4})=1{,}386(288{,}15-1088{,}60)
\Delta U_{41}=1{,}386\cdot(-800{,}45)\approx-1109{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Trabalho W_{41}=0 (isocórico).
  • Logo Q_{41}=\Delta U_{41}=-1109{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}} (calor retirado do sistema).
  • \displaystyle \Delta H_{41}=C_{p}(T_{1}-T_{4})=1{,}673\cdot(-800{,}45)\approx-1338{,}6\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
  • Entropia (isochoric reversível): \displaystyle \Delta S_{41}=C_{v}\ln\!\left(\frac{T_{1}}{T_{4}}\right)=1{,}386\ln\!\left(\frac{288{,}15}{1088{,}60}\right).
\Delta S_{41}\approx1{,}386\cdot(-1{,}328)\approx-1{,}840\\ \mathrm{kJ\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}}.
(Observação: \Delta S_{23}+\Delta S_{41}\approx0, e \Delta S_{12}=\Delta S_{34}=0. Soma zero, consistente com ciclo total reversível.)

Passo 4

Agora somo os termos para o ciclo e calculo a eficiência. Também faço checagens rápidas da primeira lei:
Soma (ciclo completo, somando 1→2 + 2→3 + 3→4 + 4→1):
  • Energia interna:
\Delta U_{ciclo}=\Delta U_{12}+\Delta U_{23}+\Delta U_{34}+\Delta U_{41}\approx344{,}2+1491{,}1-726{,}4-1109{,}5\approx0\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Deve ser zero para ciclo completo; zerinho devido a arredondamentos.)
  • Trabalho líquido:
W_{net}=W_{12}+W_{23}+W_{34}+W_{41}\approx -344{,}2+308{,}9+726{,}4+0\approx690{,}1\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
(Pela conservação de energia W_{net} deve igualar Q_{in}+Q_{out} tendo sinais; melhor comparar com Q entrado e saído.)
  • Calor total trocado:
Q_{total}=Q_{12}+Q_{23}+Q_{34}+Q_{41}=0+1800+0-1109{,}5\approx690{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}.
(As pequenas diferenças entre W_{net} e Q_{total} provêm de arredondamentos; conceito: W_{net}=Q_{net} para ciclo.)
  • Entalpia total \Delta H_{ciclo} também é (aproximadamente) zero, por ser função de estado.
Eficiência térmica do ciclo:
\eta=\frac{W_{net}}{Q_{in}}=\frac{690{,}5}{1800}\approx0{,}3836\approx38{,}36\%.
Checagem física: eficiência entre 30\% e 40\% é razoável para um Diesel ideal com essa razão de compressão e corte.

Passo 5

Resumo final interpretável rapidamente (valores já calculados, consolidados e prontos para a prova). Vou listar tudo de forma organizada para você decorar/consultar — em seguida eu dou apenas as respostas requeridas no campo final.
(Todas as equações usadas foram mostradas; aqui apenas consolido resultados numéricos prontos.)

Resposta

a) Diagrama p\times V: pontos e segmentos (em \mathrm{kPa} e \mathrm{m^{3}/kg}):
(1)\\ (V_{1},p_{1})=(0{,}8276\\ \mathrm{m^{3}/kg},\;100\\ \mathrm{kPa}),
(2)\\ (V_{2},p_{2})=(0{,}04138\\ \mathrm{m^{3}/kg},\;3713\\ \mathrm{kPa}),
(3)\\ (V_{3},p_{3})=(0{,}1243\\ \mathrm{m^{3}/kg},\;3713\\ \mathrm{kPa}),
(4)\\ (V_{4},p_{4})=(0{,}8276\\ \mathrm{m^{3}/kg},\;376{,}9\\ \mathrm{kPa}).
Ligações: 1→2 curva adiabática (compressão), 2→3 linha horizontal (isobárica), 3→4 curva adiabática (expansão), 4→1 linha vertical (isochórica).
b) Temperaturas nos estados:
T_{1}=288{,}15\\ \mathrm{K},\quad T_{2}=536{,}45\\ \mathrm{K},\quad T_{3}=1612{,}65\\ \mathrm{K},\quad T_{4}=1088{,}60\\ \mathrm{K}.
c) Valores por etapa (por kg):
1→2:
\Delta U_{12}=+344{,}2\\ \mathrm{kJ/kg},\quad W_{12}=-344{,}2\\ \mathrm{kJ/kg},\quad Q_{12}=0,
\Delta H_{12}=+415{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},\quad \Delta S_{12}=0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
2→3:
\Delta U_{23}=+1491{,}1\\ \mathrm{kJ/kg},\quad W_{23}=+308{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},\quad Q_{23}=+1800{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},
\Delta H_{23}=+1800{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},\quad \Delta S_{23}=+1{,}839\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
3→4:
\Delta U_{34}=-726{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},\quad W_{34}=+726{,}4\\ \mathrm{kJ/kg},\quad Q_{34}=0,
\Delta H_{34}=-876{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\quad \Delta S_{34}=0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
4→1:
\Delta U_{41}=-1109{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},\quad W_{41}=0,\quad Q_{41}=-1109{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},
\Delta H_{41}=-1338{,}6\\ \mathrm{kJ/kg},\quad \Delta S_{41}=-1{,}840\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
d) Valores para o ciclo completo (soma):
\Delta U_{ciclo}\approx0\\ \mathrm{kJ/kg},\quad W_{net}\approx690{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},\quad Q_{net}\approx690{,}5\\ \mathrm{kJ/kg},
\Delta H_{ciclo}\approx0\\ \mathrm{kJ/kg},\quad \Delta S_{ciclo}=0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
e) Eficiência térmica:
\eta=\frac{W_{net}}{Q_{in}}\approx\frac{690{,}5}{1800}\approx0{,}3836\approx38{,}36\%.

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