Coordenadas polares são frequentemente usadas na engenharia para modelar sistemas com simetria circular, como reservatórios, rotores ou dispositivos de distribuição de fluidos.
Um reservatório de forma circular tem raio
. A densidade do fluido armazenado varia de acordo com a distância
ao centro do reservatório, seguindo a relação:
A densidade angular é uniforme, ou seja, não depende do ângulo
.
7a) Usando coordenadas polares, escreva a fórmula para calcular a massa total do fluido no reservatório.
7b) Resolva a integral para determinar a massa total do fluido.
7c) Considere o caso em que o raio do reservatório aumenta para
. Calcule novamente a massa total e compare com o valor anterior.
A massa total de uma região circular com densidade radial
pode ser calculada como:
onde:
- rdrd
é o elemento de área em coordenadas polares,
- R é o raio máximo do reservatório.
Um reservatório de forma circular tem raio
7a) Usando coordenadas polares, escreva a fórmula para calcular a massa total do fluido no reservatório.
7b) Resolva a integral para determinar a massa total do fluido.
7c) Considere o caso em que o raio do reservatório aumenta para
A massa total de uma região circular com densidade radial
Passo 1
O exercício pede para calcular a massa total de um fluido num reservatório circular de raio R cuja densidade varia radialmente como
. O conteúdo é integração em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula geral da massa em coord. polares.
Passo 2
A fórmula em coordenadas polares para a massa total é
onde
.
Agora resolvemos a integral interna para :
Agora resolvemos a integral interna para
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Repetindo para
:
Então
Passo 4
Comparando, o reservatório maior tem massa
, ou seja, cerca de 2,53 vezes maior.
Resposta
a)
.
b) Para :
.
c) Para :
, cerca de 2,53 vezes
.
b) Para
c) Para