Coordenadas polares são frequentemente usadas na engenharia para modelar sistemas com simetria circular, como reservatórios, rotores ou dispositivos de distribuição de fluidos.
Um reservatório de forma circular tem raio R=10 m. A densidade do fluido armazenado varia de acordo com a distância r ao centro do reservatório, seguindo a relação:
rho(r)=2+0.1 r, em kg / m^2
A densidade angular é uniforme, ou seja, não depende do ângulo theta.
7a) Usando coordenadas polares, escreva a fórmula para calcular a massa total do fluido no reservatório.
7b) Resolva a integral para determinar a massa total do fluido.
7c) Considere o caso em que o raio do reservatório aumenta para R=15 m. Calcule novamente a massa total e compare com o valor anterior.
A massa total de uma região circular com densidade radial rho(r) pode ser calculada como:
M=integral0^2 pi integral0^R rho(r) r d r d theta
onde:
  • rdrd theta é o elemento de área em coordenadas polares,
  • R é o raio máximo do reservatório.

Passo 1

O exercício pede para calcular a massa total de um fluido num reservatório circular de raio R cuja densidade varia radialmente como rho(r)=2+0.1r. O conteúdo é integração em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula geral da massa em coord. polares.

Passo 2

A fórmula em coordenadas polares para a massa total é
M=integral0^2piintegral0^Rrho(r),r,dr,dtheta
onde rho(r)=2+0.1r.
Agora resolvemos a integral interna para R=10:
integral0^10(2+0.1r),r,dr=integral0^10(2r+0.1r^2),dr =l[r^2+0.13r^3r]0^10 =100+0.13cdot1000 =133.3333
Multiplicando por integral0^2pidtheta=2pi obtemos
M10=2pitimes133.3333=8003,pi kgapprox837.76 kg

Passo 3

Repetindo para R=15:
integral0^15(2r+0.1r^2),dr=l[r^2+0.13r^3r]0^15 =225+0.13cdot3375 =337.5
Então
M15=2pitimes337.5=675,pi kgapprox2121.03 kg

Passo 4

Comparando, o reservatório maior tem massa M15/M10=337.5/133.333approx2.53125, ou seja, cerca de 2,53 vezes maior.

Resposta

a) M=integral0^2piintegral0^R(2+0.1r),r,dr,dtheta.
b) Para R=10: M10=tfrac8003,pi kgapprox837.76 kg.
c) Para R=15: M15=675,pi kgapprox2121.03 kg, cerca de 2,53 vezes M10.

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