Um cicloide é descrito pelo movimento de um ponto fixo de uma circunferência de raio r que rola, sem deslisamento, sobre um eixo. Supondo que, para o instante
, o ponto fixo da circunferência coincida com a origem do plano cartesiano, obtenha a curva parametrizada
cujo o traço é a cicloide.
Passo 1
O enunciado pede a curva tracejada por um ponto fixo de uma circunferência de raio
que rola sem deslizar sobre o eixo
. Em
esse ponto coincide com a origem. O conteúdo aqui é parametrização de curvas por decomposição em movimento de translação do centro e rotação relativa do ponto sobre o centro.
Passo 2
Seja
o ângulo de rotação da roda (em radianos). Como não há deslizamento, o deslocamento horizontal do centro da roda é igual ao arco percorrido na circunferência, ou seja
Como o centro fica sempre a uma altura
acima do eixo, temos
Passo 3
No instante
o ponto fixo está em
, logo o vetor do centro até esse ponto é
Ao rolar para a direita, a circunferência gira no sentido horário de
, o que corresponde a uma rotação de
no vetor acima. Aplicando a rotação por
, obtemos o vetor relativo
Passo 4
Somando o movimento de translação do centro com o vetor relativo, a parametrização da cicloide é
Resposta
com
.