Um cicloide é descrito pelo movimento de um ponto fixo de uma circunferência de raio r que rola, sem deslisamento, sobre um eixo. Supondo que, para o instante t=0, o ponto fixo da circunferência coincida com a origem do plano cartesiano, obtenha a curva parametrizada F cujo o traço é a cicloide.

Passo 1

O enunciado pede a curva tracejada por um ponto fixo de uma circunferência de raio r que rola sem deslizar sobre o eixo x. Em t=0 esse ponto coincide com a origem. O conteúdo aqui é parametrização de curvas por decomposição em movimento de translação do centro e rotação relativa do ponto sobre o centro.

Passo 2

Seja theta o ângulo de rotação da roda (em radianos). Como não há deslizamento, o deslocamento horizontal do centro da roda é igual ao arco percorrido na circunferência, ou seja
xC = r,theta
Como o centro fica sempre a uma altura r acima do eixo, temos
yC = r

Passo 3

No instante theta=0 o ponto fixo está em (0,0), logo o vetor do centro até esse ponto é
l(0,,-rr)
Ao rolar para a direita, a circunferência gira no sentido horário de theta, o que corresponde a uma rotação de -theta no vetor acima. Aplicando a rotação por -theta, obtemos o vetor relativo
l(-rsintheta,,-rcosthetar)

Passo 4

Somando o movimento de translação do centro com o vetor relativo, a parametrização da cicloide é
vec F(theta) = l(xC,yCr) + l(-rsintheta,,-rcosthetar) = l(rtheta - rsintheta,;r - rcosthetar)

Resposta

boxedvec F(t)=l(r,(t-sin t),;r,(1-cos t)r),
com tinR.

Exercícios relacionados