Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
,
.
Para isso, vamos interpretar separadamente a projeção no plano e a evolução na direção
.
Para isso, vamos interpretar separadamente a projeção no plano
Passo 2
Analisando as componentes no plano
, definimos o raio
e procuramos um ângulo
tal que
Como
e
, segue
.
Passo 3
Portanto, a projeção
é um raio
decrescente exponencialmente e um ângulo
que decresce linearmente. Isso gera uma espiral que se aproxima da origem no plano
, girando no sentido horário quando vista de cima.
Passo 4
A componente vertical é
que decai de
para
quando
. Logo, à medida que o ponto gira e se aproxima do eixo
, ele também desce exponencialmente.
Passo 5
Combinando, a curva no espaço é uma espiral helicoidal decrescente em raio e altura. Começa em
no ponto
, gira no sentido horário visto de cima e vai descendo, aproximando-se do ponto
à medida que
cresce.
Resposta
A curva é uma espiral descendente ao redor do eixo
, partindo de
em
, girando no sentido horário (vista de cima) e decaindo em
até se aproximar da origem. No esboço, basta desenhar:
- O eixo
vertical; - A projeção no plano
como uma espiral de raio aproximando-se da origem; - A altura
decrescendo; - Setas ao longo da curva indicando o sentido horário e para baixo.