Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
F(t)=(e^-t sen t, e^-t cos t, e^-t), com t >= 0

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
vec F(t) = l(e^-tsin t,;e^-tcos t,;e^-tr), ,t>=0.
Para isso, vamos interpretar separadamente a projeção no plano xy e a evolução na direção z.

Passo 2

Analisando as componentes no plano xy, definimos o raio
r(t)=raiz[e^-tsin t]^2+[e^-tcos t]^2 =e^-t,
e procuramos um ângulo theta(t) tal que
e^-tsin t = r(t)costheta, e^-tcos t = r(t)sintheta
Como costheta=sin t e sintheta=cos t, segue theta(t)=pi/2 - t.

Passo 3

Portanto, a projeção (x(t),y(t)) é um raio r(t)=e^-t decrescente exponencialmente e um ângulo theta(t)=pi/2 - t que decresce linearmente. Isso gera uma espiral que se aproxima da origem no plano xy, girando no sentido horário quando vista de cima.

Passo 4

A componente vertical é
z(t)=e^-t,
que decai de z(0)=1 para zto0 quando ttoinfty. Logo, à medida que o ponto gira e se aproxima do eixo z, ele também desce exponencialmente.

Passo 5

Combinando, a curva no espaço é uma espiral helicoidal decrescente em raio e altura. Começa em t=0 no ponto (0,1,1), gira no sentido horário visto de cima e vai descendo, aproximando-se do ponto (0,0,0) à medida que t cresce.

Resposta

A curva é uma espiral descendente ao redor do eixo z, partindo de (0,1,1) em t=0, girando no sentido horário (vista de cima) e decaindo em z até se aproximar da origem. No esboço, basta desenhar:
  • O eixo z vertical;
  • A projeção no plano xy como uma espiral de raio e^-t aproximando-se da origem;
  • A altura z=e^-t decrescendo;
  • Setas ao longo da curva indicando o sentido horário e para baixo.

Exercícios relacionados