(AFA) Em um grupo de
cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de
, sabendo que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?
Passo 1
Vamos traduzir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Existem três esportes: natação, basquetebol e voleibol.
- Números fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Nadam:
. - Jogam basquetebol:
. - Jogam voleibol:
. - Nadam e jogam basquetebol:
. - Nadam e jogam voleibol:
. - Jogam basquetebol e voleibol:
. - Fazem os três esportes:
.
- Nadam:
- Pergunta: qual é o total de cadetes
, sabendo que todos praticam pelo menos um desses esportes? Ou seja, queremos o número de pessoas na união dos três conjuntos.
Passo 2
Definir conjuntos e a variável que vamos usar.
- Seja
o conjunto dos que nadam, o conjunto dos que jogam basquetebol e o conjunto dos que jogam voleibol. - Queremos calcular
. Como todos praticam pelo menos um dos esportes, esse conjunto é exatamente o total de cadetes . Logo
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar (Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos) e explicar por que funciona.
- A fórmula é:
- Explicação didática, passo a passo:
- Somando
contamos cada pessoa que está em dois conjuntos duas vezes e cada que está nos três conjuntos três vezes. - Subtraindo
retiramos a dupla contagem das pessoas que estão em exatamente dois conjuntos, mas também retiramos demais das que estão nos três (porque cada pessoa nos três foi contada 3 vezes e subtraída 3 vezes, resultando em 0 contagens para ela). - Para recuperar exatamente uma contagem das pessoas que estão nos três, devemos somar
no final.
- Somando
- Essa é a razão pela qual a fórmula tem o sinal de adição no último termo.
Passo 4
Substituir os valores do enunciado na fórmula. Primeiro somas intermediárias claras (peguei cada número do enunciado conforme listado no Passo 1).
- Soma dos únicos:
- Soma das interseções duplas:
- Interseção tripla:
Passo 5
Fazer as contas passo a passo sem pular etapas.
- Calcular a soma dos únicos:
- Calcular a soma das interseções duplas:
- Aplicar a fórmula:
- Efetuando a subtração e adição:
Passo 6
Interpretação final e conclusão curta.
- O número total de cadetes deste grupo, já que todos praticam pelo menos um esporte, é a cardinalidade da união, que calculamos como
. - Força aí — olha como o princípio da inclusão-exclusão resolve esse tipo de problema de sobreposição direitinho!