(AFA) Em um grupo de \mathbf{n} cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de \mathbf{n}, sabendo que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?

Passo 1

Vamos traduzir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Existem três esportes: natação, basquetebol e voleibol.
  • Números fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Nadam: 17.
    • Jogam basquetebol: 19.
    • Jogam voleibol: 21.
    • Nadam e jogam basquetebol: 5.
    • Nadam e jogam voleibol: 2.
    • Jogam basquetebol e voleibol: 5.
    • Fazem os três esportes: 2.
  • Pergunta: qual é o total de cadetes n, sabendo que todos praticam pelo menos um desses esportes? Ou seja, queremos o número de pessoas na união dos três conjuntos.

Passo 2

Definir conjuntos e a variável que vamos usar.
  • Seja A o conjunto dos que nadam, B o conjunto dos que jogam basquetebol e C o conjunto dos que jogam voleibol.
  • Queremos calcular |A\cup B\cup C|. Como todos praticam pelo menos um dos esportes, esse conjunto é exatamente o total de cadetes n. Logo n = |A\cup B\cup C|.

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar (Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos) e explicar por que funciona.
  • A fórmula é: |A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-\big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|\big)+|A\cap B\cap C|.
  • Explicação didática, passo a passo:
    • Somando |A|+|B|+|C| contamos cada pessoa que está em dois conjuntos duas vezes e cada que está nos três conjuntos três vezes.
    • Subtraindo |A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C| retiramos a dupla contagem das pessoas que estão em exatamente dois conjuntos, mas também retiramos demais das que estão nos três (porque cada pessoa nos três foi contada 3 vezes e subtraída 3 vezes, resultando em 0 contagens para ela).
    • Para recuperar exatamente uma contagem das pessoas que estão nos três, devemos somar |A\cap B\cap C| no final.
  • Essa é a razão pela qual a fórmula tem o sinal de adição no último termo.

Passo 4

Substituir os valores do enunciado na fórmula. Primeiro somas intermediárias claras (peguei cada número do enunciado conforme listado no Passo 1).
  • Soma dos únicos: |A|+|B|+|C|=17+19+21.
  • Soma das interseções duplas: |A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=5+2+5.
  • Interseção tripla: |A\cap B\cap C|=2.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo sem pular etapas.
  • Calcular a soma dos únicos: 17+19+21=36+21=57.
  • Calcular a soma das interseções duplas: 5+2+5=12.
  • Aplicar a fórmula: |A\cup B\cup C|=57-12+2.
  • Efetuando a subtração e adição: 57-12=45,\qquad 45+2=47.

Passo 6

Interpretação final e conclusão curta.
  • O número total de cadetes deste grupo, já que todos praticam pelo menos um esporte, é a cardinalidade da união, que calculamos como 47.
  • Força aí — olha como o princípio da inclusão-exclusão resolve esse tipo de problema de sobreposição direitinho!

Resposta

47

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