Numa cidade do interior do país foram criados mini distritos industriais e, num deles, uma família resolveu montar uma indústria de lingerie. Iniciaram com poucas máquinas, mas em pouco tempo o volume de vendas exigiu a compra de novos
equipamentos. No presente momento, um consultor está levantando os custos de produção e demais números da empresa, para auxiliar os proprietários na tomada de decisão sobre o novo preço de venda. Foi apurado que, atualmente, o preço médio de venda de cada peça de lingerie é de \mathrm{R} \ 8,00 , enquanto que todos os custos variáveis somados alcançamáç\mathrm{R} $4,80 . Os custos fixos mensais são deã\mathrm{R} $ 6400,00 . A média de venda dos últimos meses é de 2500 peças. A partir de uma pesquisa de demanda, estima-se que, com um preço deéúéçç\mathrm{R} $7,20$ por peça, a indústria passe a vender 3000 unidades mensais. Com base nas informações acima responda:
(a) Qual expressão representa a Receita Total, em função da quantidade vendida?
(b) Qual expressão representa o Custo Variável, em função da quantidade vendida?
(c) Qual a margem de Contribuição Unitária?
(d) Qual expressão representa o Custo Total, em função da quantidade vendida?
(e) Qual expressão representa o Lucro, em função da quantidade vendida?
(f) Qual o ponto de equilíbrio em número de peças?
(g) Na condição de vender 2500 peças mensais ao preço de \mathrm{R} \ 8,00$ cada uma, qual o Lucro da empresa?
(h) Agora faça os itens “a” até “e”, alterando o preço de venda para \mathrm{R} \ 7,20$ e mantendo inalterados os custos.
(i) Qual o novo ponto de equilíbrio?
(j) Vendendo agora 3000 peças por mês, ao preço de \mathrm{R} \ 7,20$ cada uma, qual o novo Lucro da empresa?
(k) Elabore, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções Lucro para o preço de venda \mathrm{R} \ 8,00 e para o preço de vendaç\mathrm{R} $7,20 . Analise o que se modificou, tendo em vista os conceitos de Margem de Contribuição Unitária, ponto de equilíbrio e coeficiente angular. (l) Você recomendaria esta estratégia de baixar o preço para \(\mathrm{R} \\) 7,20 ?.Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz várias perguntas. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Preço de venda atual por peça: \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00.
  • Custo variável total por peça (todos os custos variáveis somados): \mathrm{R} \$\\\ 4{,}80 por peça.
  • Custos fixos mensais: \mathrm{R} \$\\\ 6\,400{,}00.
  • Venda média atual: 2{,}500 peças por mês.
  • Estimativa de demanda com novo preço: vendendo a \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20 por peça, passam a vender 3{,}000 peças por mês.
  • Mantém-se inalterado que os custos variáveis são \mathrm{R} \$\\\ 4{,}80 por peça e os custos fixos são \mathrm{R} \$\\\ 6\,400{,}00.
O enunciado pede (resumindo as perguntas):
(a) Receita Total em função da quantidade vendida q.
(b) Custo Variável em função de q.
(c) Margem de Contribuição Unitária.
(d) Custo Total em função de q.
(e) Lucro em função de q.
(f) Ponto de equilíbrio (número de peças).
(g) Lucro vendendo 2{,}500 peças a \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00.
(h) Repetir (a)–(e) com preço \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20.
(i) Novo ponto de equilíbrio com preço \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20.
(j) Lucro vendendo 3{,}000 peças a \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20.
(k) Desenhar no mesmo plano cartesiano as funções lucro para os dois preços e analisar o que mudou (margem de contribuição unitária, ponto de equilíbrio, coeficiente angular).
(l) Recomendar ou não a estratégia de baixar o preço para \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20, justificando.

Passo 2

Vamos definir as variáveis e lembrar fórmulas básicas (aulas rápidas e úteis).
  • q = quantidade vendida (número de peças) — variável independente.
  • p = preço de venda unitário (em \mathrm{R} \$).
  • v = custo variável unitário (em \mathrm{R} \$).
  • F = custos fixos mensais (em \mathrm{R} \$).
  • Receita total R(q) é o total recebido pela venda: é simplesmente preço vezes quantidade. R(q) = p\cdot q.Aqui p é o preço por peça e q é quantas peças são vendidas.
  • Custo variável total CV(q) é custo variável unitário vezes quantidade: CV(q) = v \cdot q.
  • Custo total CT(q) junta custos fixos e variáveis: CT(q) = F + CV(q) = F + v\cdot q.
  • Lucro L(q) é a diferença entre receita total e custo total: L(q) = R(q) - CT(q).
  • Margem de Contribuição Unitária (MCU) é quanto cada peça contribui, após cobrir o custo variável, para pagar o fixo e gerar lucro: \text{MCU} = p - v.
  • Ponto de equilíbrio em unidades q_{PE} é o q tal que L(q)=0. Da fórmula de lucro linear: L(q) = (p-v)q - F,portanto q_{PE} = \frac{F}{p-v}.
Essas fórmulas são essenciais para todos os itens; agora vamos aplicar com os números dados.

Passo 3

Aplicando as fórmulas para o preço atual \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00 (primeira parte das perguntas).
Dados numéricos para este caso:
  • p = 8{,}00,
  • v = 4{,}80,
  • F = 6\,400{,}00.
(a) Receita Total R(q):
R(q) = p\cdot q = 8{,}00\,q.
Explicação: multiplicar o preço pelo número de peças dá quanto entra de dinheiro.

Passo 4

(b) Custo Variável CV(q):
CV(q) = v\cdot q = 4{,}80\,q.
Explicação: cada peça custa \mathrm{R} \$\\\ 4{,}80 em variáveis; para q peças multiplica-se.

Passo 5

(c) Margem de Contribuição Unitária (MCU):
\text{MCU} = p - v = 8{,}00 - 4{,}80 = 3{,}20.
Interpretação: cada peça vendida gera \mathrm{R} \$\\\ 3{,}20 para cobrir custos fixos e depois formar lucro.
Dou um exemplo concreto: se vender 1 peça, receita 8{,}00, custo variável 4{,}80, sobra 3{,}20 para o fixo; vender 10 peças sobra 32{,}00 para o fixo, etc.

Passo 6

(d) Custo Total CT(q):
CT(q) = F + v\cdot q = 6\,400{,}00 + 4{,}80\,q.
Explicação: soma dos custos fixos que acontecem mesmo com q=0 e dos custos que aumentam com cada peça.

Passo 7

(e) Lucro L(q):
Partindo de L(q)=R(q)-CT(q):
L(q) = 8{,}00\,q - \bigl(6\,400{,}00 + 4{,}80\,q\bigr).
Simplificando:
L(q) = (8{,}00 - 4{,}80)q - 6\,400{,}00 = 3{,}20\,q - 6\,400{,}00.
Interpretação geométrica: é uma reta de coeficiente angular 3{,}20 (slope) e intercepto vertical -6\,400{,}00 (quando q=0 tem prejuízo igual aos fixos).

Passo 8

(f) Ponto de equilíbrio em número de peças q_{PE}:
Usando q_{PE} = \dfrac{F}{\text{MCU}}:
q_{PE} = \frac{6\,400{,}00}{3{,}20} = 2\,000.
Interpretação: vendendo 2{,}000 peças, a empresa zera o lucro (recupera exatamente os custos). Para qualquer q>2{,}000 tem lucro, para q<2{,}000 tem prejuízo.

Passo 9

(g) Lucro vendendo 2{,}500 peças a \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00:
Usar L(q)=3{,}20\,q - 6\,400{,}00 com q=2{,}500:
L(2{,}500) = 3{,}20\cdot 2{,}500 - 6\,400{,}00.
Calcule passo a passo: 3{,}20\cdot 2{,}500 = 3{,}2\cdot 2{,}500 = 8{,}000{,}00. Então
L(2{,}500) = 8\,000{,}00 - 6\,400{,}00 = 1\,600{,}00.
Interpretação: lucro de \mathrm{R} \$\\\ 1\,600{,}00 no mês nessa situação.
Parênteses motivador: ótimo — com o preço antigo e 2.500 peças a empresa já tem lucro de \mathrm{R} \$\\\ 1.600{,}00.

Passo 10

Agora refaço os itens (a)–(e) para o preço \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20 (item h). Os custos permanecem iguais ( v=4{,}80, F=6\,400{,}00).
Dados novos:
  • p = 7{,}20,
  • v = 4{,}80,
  • F = 6\,400{,}00.
(a’) Receita Total:
R(q) = 7{,}20\,q.
(b’) Custo Variável:
CV(q) = 4{,}80\,q \quad\text{(mesmo que antes)}.
(c’) Margem de Contribuição Unitária:
\text{MCU} = p - v = 7{,}20 - 4{,}80 = 2{,}40.
Interpretação: agora cada peça contribui menos para cobrir fixos — só \mathrm{R} \$\\\ 2{,}40 por peça.
(d’) Custo Total:
CT(q) = 6\,400{,}00 + 4{,}80\,q \quad\text{(idem, fixa + variável)}.á
(e’) Lucro:
L(q) = R(q) - CT(q) = 7{,}20\,q - \bigl(6\,400{,}00 + 4{,}80\,q\bigr) = 2{,}40\,q - 6\,400{,}00.
Observação: é outra reta, mesma intercepto vertical -6\,400{,}00, mas coeficiente angular 2{,}40 (menor).

Passo 11

(i) Novo ponto de equilíbrio com p=7{,}20:
q_{PE} = \frac{F}{\text{MCU}} = \frac{6\,400{,}00}{2{,}40} = 2\,666{,}\overline{6}.
Como não se vende fração de peça, precisa vender pelo menos 2\,667 peças para atingir ou ultrapassar o ponto de equilíbrio (arredondar para cima quando se exige um número de unidades mínimo para não ter prejuízo).
Interpretação: ao reduzir preço a margem unitária caiu e, por isso, agora é preciso vender muito mais (cerca de 667 peças a mais do que antes) para não ter prejuízo.

Passo 12

(j) Lucro vendendo 3{,}000 peças a \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20:
Usar L(q)=2{,}40\,q - 6\,400{,}00 com q=3{,}000:
L(3{,}000) = 2{,}40\cdot 3{,}000 - 6\,400{,}00 = 7\,200{,}00 - 6\,400{,}00 = 800{,}00.
Interpretação: lucro de \mathrm{R} \$\\\ 800{,}00 por mês nessa nova situação.
Comparação rápida com anterior: antes, vendendo 2{,}500 a \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00, o lucro era \mathrm{R} \$\\\ 1\,600{,}00. Agora, vendendo mais (3.000) a preço menor, o lucro é menor ( \mathrm{R} \$\\\ 800{,}00). Isso já aponta que a redução de preço não compensou o aumento estimado na quantidade — pelo menos com os números fornecidos.

Passo 13

(k) Gráficos das funções lucro e análise das mudanças.
Como desenhar (instruções passo a passo para traçar no mesmo plano cartesiano):
  • Eixos: abscissa q (quantidade, horizontal) e ordenada L(q) (lucro, vertical em \mathrm{R} \$).
  • Traçar a reta do caso p=\mathrm{R} \$\\\ 8{,}00: L_1(q) = 3{,}20\,q - 6\,400{,}00.Pontos chave:
    • Intercepto em q=0: L_1(0)=-6\,400{,}00. Marcar ponto (0,\,-6\,400{,}00).
    • Ponto onde corta o eixo q (ponto de equilíbrio): q=2{,}000. Marcar (2{,}000,\,0).
    • Outro ponto para desenhar bem a reta: por exemplo q=2{,}500 tem L_1(2{,}500)=1\,600{,}00.
  • Traçar a reta do caso p=\mathrm{R} \$\\\ 7{,}20: L_2(q) = 2{,}40\,q - 6\,400{,}00.Pontos chave:
    • Intercepto em q=0: L_2(0)=-6\,400{,}00 (o mesmo ponto inicial).
    • Ponto de equilíbrio: q\approx 2{,}666{,}67. Marcar (2{,}666{,}67,\,0).
    • Ponto q=3{,}000: L_2(3{,}000)=800{,}00.
Análise do que mudou:
  • Margem de Contribuição Unitária: caiu de \mathrm{R} \$\\\ 3{,}20 para \mathrm{R} \$\\\ 2{,}40. Isso significa que cada peça agora contribui menos para cobrir os fixos e gerar lucro.
  • Coeficiente angular das retas L(q): é exatamente a MCU. A reta de p=\mathrm{R} \$\\\ 8{,}00 tem coeficiente angular 3{,}20 (mais inclinada). A reta de p=\mathrm{R} \$\\\ 7{,}20 tem coeficiente 2{,}40 (menos inclinada). Visualmente, a reta do preço menor sobe mais lentamente com q.
  • Ponto de equilíbrio: aumentou de 2{,}000 para 2{,}666{,}67 unidades — ou seja, é necessário vender muito mais para alcançar o break-even após a redução de preço.
  • Intercepto vertical (quando q=0) continua o mesmo -6\,400{,}00, pois os custos fixos não mudaram.
  • Consequência prática: mesmo vendendo mais (3.000 > 2.500), o lucro final com o preço menor ( \mathrm{R} \$\\\ 800{,}00) ficou abaixo do lucro que havia com o preço maior e menos vendas ( \mathrm{R} \$\\\ 1\,600{,}00). No gráfico isso aparece porque a reta mais inclinada (preço maior) está acima da reta menos inclinada para grande faixa de q até que as retas eventualmente se distanciem, mas com os valores dados a queda de preço não é compensada.

Passo 14

(l) Recomendação e justificativa (empático e prático).
Minha recomendação, com base apenas nos números fornecidos (custos fixos e variáveis e estimativa de demanda), é NÃO recomendar a queda de preço para \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20 — pelo menos não sem outras justificativas estratégicas. Justificativas numéricas e práticas:
  • Com preço antigo ( \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00) e vendas médias de 2{,}500 peças, a empresa tem lucro de \mathrm{R} \$\\\ 1\,600{,}00 por mês.
  • Com preço novo ( \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20) e a estimativa de vendas 3{,}000 peças, o lucro estimado é \mathrm{R} \$\\\ 800{,}00, ou seja, metade do lucro anterior — portanto a redução prejudica o resultado financeiro imediato.
  • A redução de preço diminui a margem de contribuição unitária (de \mathrm{R} \$\\\ 3{,}20 para \mathrm{R} \$\\\ 2{,}40), obrigando a vender muito mais ( +667 peças) para alcançar o ponto de equilíbrio.
  • Poderiam existir razões não-financeiras para reduzir preço (ganho de market share, entrada em novo mercado, estratégia de longo prazo, eliminar capacidade ociosa, negociação com grandes compradores etc.). Se houver expectativa firme de que esse aumento de vendas será maior que o estimado (por exemplo vender muito mais que 3.000 peças) ou se houver efeitos estratégicos de longo prazo que justifiquem lucro menor no curto prazo, então a redução pode ser considerada. Mas com os números fornecidos (estimativa de 3.000) a queda é financeiramente desvantajosa.
Mensagem de incentivo: calma — esses cálculos mostram claramente o impacto da margem e do ponto de equilíbrio; com esse entendimento você consegue argumentar com os proprietários e testar outras alternativas (reduzir custos variáveis, buscar comprar matéria-prima mais barata, negociar redução dos fixos, pacotes promocionais que aumentem muito mais a demanda, etc.).

Resposta

(a) R(q)=8{,}00\,q
(b) CV(q)=4{,}80\,q
(c) \text{MCU}=3{,}20 ( \mathrm{R} \$ por peça)
(d) CT(q)=6\,400{,}00+4{,}80\,q
(e) L(q)=3{,}20\,q-6\,400{,}00
(f) q_{PE}=2\,000 peças
(g) L(2{,}500)=1\,600{,}00 ( \mathrm{R} \$)
(h.a) R(q)=7{,}20\,q
(h.b) CV(q)=4{,}80\,q
(h.c) \text{MCU}=2{,}40 ( \mathrm{R} \$ por peça)
(h.d) CT(q)=6\,400{,}00+4{,}80\,q
(h.e) L(q)=2{,}40\,q-6\,400{,}00
(i) q_{PE}=\dfrac{6\,400{,}00}{2{,}40}=2\,666{,}\overline{6} (ou seja, pelo menos 2\,667 peças)
(j) L(3{,}000)=800{,}00 ( \mathrm{R} \$)
(k) As duas retas lucro são L_1(q)=3{,}20\,q-6\,400{,}00 e L_2(q)=2{,}40\,q-6\,400{,}00. A reta do preço \mathrm{R} \$\\\ 8{,}00 é mais inclinada (coeficiente angular 3{,}20), tem ponto de equilíbrio em 2{,}000 e, por exemplo, L_1(2{,}500)=1\,600{,}00. A reta do preço \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20 é menos inclinada (coeficiente 2{,}40), tem ponto de equilíbrio em 2\,666{,}67 e L_2(3{,}000)=800{,}00. Mudanças: a margem unitária diminui, o ponto de equilíbrio aumenta e o coeficiente angular diminui.
(l) Não recomendaria a redução para \mathrm{R} \$\\\ 7{,}20 com base apenas nesses números, pois reduz a margem, aumenta o ponto de equilíbrio e, com a estimativa de venda de 3{,}000 peças, gera lucro menor ( \mathrm{R} \$\\\ 800{,}00) do que a situação atual ( \mathrm{R} \$\\\ 1\,600{,}00 vendendo 2{,}500); só considerar a redução se houver forte justificativa estratégica ou expectativa de aumento de vendas muito maior que a estimada.

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