Poucas pessoas têm uma real noção dos efeitos da capitalização composta de juros utilizados no sistema financeiro brasileiro. Para que você tenha uma melhor noção, considere a situação de um brasileiro que foi morar no exterior, tentando uma vida melhor, só que, ao viajar de mudança, esqueceu uma conta corrente em um determinado banco, com saldo negativo de
500,00
64500,00. Para sua surpresa, quando voltou, tomou conhecimento de que havia deixado esta conta com saldo descoberto. A taxa de juros cobrada era de 8,5% ao mês. Sendo que ele ficou fora 5 anos passaram-se 60 meses. Para a tristeza do aventureiro internacional, a cobrança era feita de forma capitalizada, de maneira que ao saldo final de cada mês era debitado o juro mensal, fazendo com que a base de cálculo aumentasse mês a mês. Qual a dívida quando o brasileiro retornou?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
- Saldo descoberto inicial:
(isto é, dívida inicial de ). - Taxa de juros cobrada:
ao mês. - Tempo fora do país:
anos meses. - Cobrança capitalizada mensalmente (juros compostos): ao final de cada mês o juro é debitado e passa a compor a base para o mês seguinte.
A pergunta é: qual a dívida quando ele retornou (após
meses)?
Passo 2
Conceito básico que usamos (a tal “aula manhosa” rápida): juros compostos.
Quando os juros são capitalizados periodicamente, o valor futuro (a dívida final, aqui) a partir de um valor presente
é dado pela fórmula
Quando os juros são capitalizados periodicamente, o valor futuro
onde:
-
é o valor presente (a dívida inicial; aqui ), -
é a taxa de juros por período (aqui ), -
é o número de períodos (aqui ).
Explicando em palavras: multiplicamos o principal por
para cada mês; após
meses isso equivale a multiplicar por
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso:
onde
é a dívida final que queremos calcular.
Passo 4
Agora precisamos avaliar
. Uma maneira rigorosa para cálculo manual é usar logaritmos ou a exponencial do logaritmo natural. Primeiro calculo aproximado de
usando a série de Taylor
com
:
Cálculo dos primeiros termos:
Somando os termos principais obtemos
Multiplicando por
:
Logo
Para simplificar a exponenciação, escrevo
, sabendo que
. Assim
Agora calculo
por série exponencial (ou aproximação):
com
. Tomando os primeiros termos obtém-se
Portanto
Passo 5
Voltando à dívida:
Arredondando para centavos (modo usual em moeda), a dívida final é aproximadamente
.
Pequeno comentário de amigo: ele voltou com
(segundo o enunciado), então o saldo que trouxe não é suficiente para cobrir a dívida — infelizmente a dívida cresceu mais que as economias em reais que ele converteu.