Poucas pessoas têm uma real noção dos efeitos da capitalização composta de juros utilizados no sistema financeiro brasileiro. Para que você tenha uma melhor noção, considere a situação de um brasileiro que foi morar no exterior, tentando uma vida melhor, só que, ao viajar de mudança, esqueceu uma conta corrente em um determinado banco, com saldo negativo de \mathrm{R} \ 500,00 . O banco tentou contato, mas não o encontrou. Cinco anos depois este brasileiro retorna ao Brasil, feliz porque havia juntado neste período 30 mil dólares, o que correspondia, no momento de sua volta ao Brasil, R\ãíó64500,00. Para sua surpresa, quando voltou, tomou conhecimento de que havia deixado esta conta com saldo descoberto. A taxa de juros cobrada era de 8,5% ao mês. Sendo que ele ficou fora 5 anos passaram-se 60 meses. Para a tristeza do aventureiro internacional, a cobrança era feita de forma capitalizada, de maneira que ao saldo final de cada mês era debitado o juro mensal, fazendo com que a base de cálculo aumentasse mês a mês. Qual a dívida quando o brasileiro retornou?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
  • Saldo descoberto inicial: \mathrm{R}\$500,00 (isto é, dívida inicial de \,500).
  • Taxa de juros cobrada: \,8{,}5\% ao mês.
  • Tempo fora do país: 5 anos = 60 meses.
  • Cobrança capitalizada mensalmente (juros compostos): ao final de cada mês o juro é debitado e passa a compor a base para o mês seguinte.
A pergunta é: qual a dívida quando ele retornou (após 60 meses)?

Passo 2

Conceito básico que usamos (a tal “aula manhosa” rápida): juros compostos.
Quando os juros são capitalizados periodicamente, o valor futuro FV (a dívida final, aqui) a partir de um valor presente PV é dado pela fórmula
FV = PV\,(1+i)^{n},
onde:
  • PV é o valor presente (a dívida inicial; aqui \,PV=500),
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=8{,}5\% = 0{,}085),
  • n é o número de períodos (aqui n=60).
Explicando em palavras: multiplicamos o principal por (1+i) para cada mês; após n meses isso equivale a multiplicar por (1+i)^{n}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso:
D = 500\,(1+0,085)^{60} = 500\,(1,085)^{60},
onde D é a dívida final que queremos calcular.

Passo 4

Agora precisamos avaliar (1,085)^{60}. Uma maneira rigorosa para cálculo manual é usar logaritmos ou a exponencial do logaritmo natural. Primeiro calculo aproximado de \ln(1,085) usando a série de Taylor \ln(1+x)=x-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{3}}{3}-\cdots com x=0,085:
Cálculo dos primeiros termos:
\begin{aligned} x&=0,085,\\\\ -\tfrac{x^{2}}{2}&=-\tfrac{0,007225}{2}=-0,0036125,\\\\ +\tfrac{x^{3}}{3}&=+\tfrac{0,000614125}{3}=+0,000204708333\ldots,\\\\ -\tfrac{x^{4}}{4}&=-\tfrac{0,000052200625}{4}=-0,00001305015625,\\\\ +\tfrac{x^{5}}{5}&\approx+0,000000887410625. \end{aligned}
Somando os termos principais obtemos
\ln(1,085)\approx 0,08157998272945573.
Multiplicando por 60:
60\ln(1,085)\approx 4,894798963767344.
Logo
(1,085)^{60}=\mathrm{e}^{60\ln(1,085)}=\mathrm{e}^{4,894798963767344}.
Para simplificar a exponenciação, escrevo 4,894798963767344 = 4,605170186 + 0,289628777767344, sabendo que \mathrm{e}^{4,605170186}=100. Assim
(1,085)^{60}=100\cdot \mathrm{e}^{0,289628777767344}.
Agora calculo \mathrm{e}^{0,289628777767344} por série exponencial (ou aproximação):
\mathrm{e}^{a}=1+a+\tfrac{a^{2}}{2}+\tfrac{a^{3}}{6}+\tfrac{a^{4}}{24}+\cdots,
com a=0,289628777767344. Tomando os primeiros termos obtém-se
\mathrm{e}^{0,2896287778}\approx 1{,}3368899948.
Portanto
(1,085)^{60}\approx 100\times 1{,}3368899948 \approx 133{,}68899948.

Passo 5

Voltando à dívida:
D = 500\times 133{,}68899948 \approx 66.844,49974.
Arredondando para centavos (modo usual em moeda), a dívida final é aproximadamente \mathrm{R}\$66.844,50.
Pequeno comentário de amigo: ele voltou com \mathrm{R}\$64.500,00 (segundo o enunciado), então o saldo que trouxe não é suficiente para cobrir a dívida — infelizmente a dívida cresceu mais que as economias em reais que ele converteu.

Resposta

\mathrm{R}\$66.844,50

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