Numa cidade do interior do Paraná, estima-se que cerca de 20 \% dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50 \% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é de 40 \%. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
a) não praticar esporte;
b) ser alérgico dado que não pratica esportes.

Passo 1

O enunciado diz que na cidade
\,P(A)=0,20 é a probabilidade de um habitante ser alérgico,
\,P(B\mid A)=0,50 é a probabilidade de praticar esporte dado que é alérgico, e
\,P(B\mid A^c)=0,40 é a probabilidade de praticar esporte dado que não é alérgico.
Queremos:
a) P(B^c), a probabilidade de não praticar esporte;
b) P(A\mid B^c), a probabilidade de ser alérgico sabendo que não pratica esporte.

Passo 2

Usamos a fórmula da probabilidade total para P(B):
P(B)=P(B\mid A)\,P(A)+P(B\mid A^c)\,P(A^c)
Substituindo,
P(B)=0,50\cdot0,20+0,40\cdot0,80=0,10+0,32=0,42.

Passo 3

A probabilidade de não praticar esporte é
P(B^c)=1-P(B)=1-0,42=0,58.

Passo 4

Para P(A\mid B^c) usamos o teorema de Bayes:
P(A\mid B^c) =\frac{P(B^c\mid A)\,P(A)}{P(B^c)}.
Como P(B^c\mid A)=1-P(B\mid A)=1-0,50=0,50, então
P(A\mid B^c) =\frac{0,50\cdot0,20}{0,58} =\frac{0,10}{0,58}\approx0,1724.

Resposta

a) P(\text{não praticar esporte})=0,58ã
b) P(\text{ser alérgico}\mid \text{não pratica esporte})\approx0,1724éã

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