Em uma cidade, os motoristas são parados pela polícia para fazer um teste sobre o teor de álcool no sangue. Suponha que a probabilidade de que um motorista detido esteja embriagado é 5 % e que o teste realizado acerta o estado de embriaguez, isto é, se está sóbrio ou embriagado, em 80 % das ocasiões.
Os motoristas cujos testes dão positivo são submetidos a um segundo exame, que nunca falha em um motorista sóbrio, porém tem probabilidade 10% de erro nos embriagados.
Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, ou seja, atestou sobriedade, qual a probabilidade de que estava dirigindo embriagado?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um probleminha de probabilidade condicional com dois testes em sequência pra detectar bêbado. O conteúdo é Teorema de Bayes e regras de probabilidade (produto e soma). Para resolver, a gente vai:
  1. Definir eventos e probabilidades do enunciado.
  2. Montar a “árvore” de cenários (bêbado ou sóbrio e resultados dos testes).
  3. Calcular a probabilidade de cada ramo (multiplicando).
  4. Usar Bayes pra achar a chance de a pessoa estar bêbada dado que no segundo teste deu negativo.

Passo 2

Definindo os eventos:
E = motorista está embriagado (P(E)=0,05)
S = motorista está sóbrio (P(S)=0,95)
T1⁺ = primeiro teste dá positivo
T1⁻ = primeiro teste dá negativo
T2⁺ = segundo teste dá positivo
T2⁻ = segundo teste dá negativo
Do enunciado:
P(T1⁺|E)=0,8 e P(T1⁻|E)=0,2
P(T1⁺|S)=0,2 e P(T1⁻|S)=0,8
(ou seja, primeiro teste acerta 80% dos casos)
Quem passa no T1⁺ faz o segundo teste, e nele:
P(T2⁻|S,T1⁺)=1 (nunca erra em sóbrio)
P(T2⁻|E,T1⁺)=0,1 (10% de dar errado em embriagado)
Queremos P(E | T1⁺ e T2⁻).

Passo 3

  1. Calcular P(E ∧ T1⁺ ∧ T2⁻) usando a regra do produto:
    P(E)·P(T1⁺|E)·P(T2⁻|E,T1⁺)
  2. Calcular P(S ∧ T1⁺ ∧ T2⁻) do mesmo jeito:
    P(S)·P(T1⁺|S)·P(T2⁻|S,T1⁺)
  3. A probabilidade total de “T1⁺ e T2⁻” é a soma desses dois números (lei da probabilidade total).
  4. Por fim, Teorema de Bayes:
P(E mid T1⁺,T2⁻) = P(E land T1⁺ land T2⁻)P(E land T1⁺ land T2⁻) + P(S land T1⁺ land T2⁻)

Passo 4

  1. Numerador:
    P(E)·P(T1⁺|E)·P(T2⁻|E,T1⁺) = 0,05·0,8·0,1 = 0,004
  2. Parcela do sóbrio:
    P(S)·P(T1⁺|S)·P(T2⁻|S,T1⁺) = 0,95·0,2·1 = 0,19
  3. Denominador = 0,004 + 0,19 = 0,194
  4. Logo
P(E mid T1⁺,T2⁻) = 0,0040,194 approx 0,0206

Resposta

A probabilidade de o motorista estar embriagado, dado que o segundo teste deu negativo, é de aproximadamente 2,06%.

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