Em uma cidade, os motoristas são parados pela polícia para fazer um teste sobre o teor de álcool no sangue. Suponha que a probabilidade de que um motorista detido esteja embriagado é
e que o teste realizado acerta o estado de embriaguez, isto é, se está sóbrio ou embriagado, em
das ocasiões.
Os motoristas cujos testes dão positivo são submetidos a um segundo exame, que nunca falha em um motorista sóbrio, porém tem probabilidade 10% de erro nos embriagados.
Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, ou seja, atestou sobriedade, qual a probabilidade de que estava dirigindo embriagado?
Os motoristas cujos testes dão positivo são submetidos a um segundo exame, que nunca falha em um motorista sóbrio, porém tem probabilidade 10% de erro nos embriagados.
Dado que o segundo teste de um motorista resultou negativo, ou seja, atestou sobriedade, qual a probabilidade de que estava dirigindo embriagado?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um probleminha de probabilidade condicional com dois testes em sequência pra detectar bêbado. O conteúdo é Teorema de Bayes e regras de probabilidade (produto e soma). Para resolver, a gente vai:
- Definir eventos e probabilidades do enunciado.
- Montar a “árvore” de cenários (bêbado ou sóbrio e resultados dos testes).
- Calcular a probabilidade de cada ramo (multiplicando).
- Usar Bayes pra achar a chance de a pessoa estar bêbada dado que no segundo teste deu negativo.
Passo 2
Definindo os eventos:
E = motorista está embriagado (P(E)=0,05)
S = motorista está sóbrio (P(S)=0,95)
T1⁺ = primeiro teste dá positivo
T1⁻ = primeiro teste dá negativo
T2⁺ = segundo teste dá positivo
T2⁻ = segundo teste dá negativo
E = motorista está embriagado (P(E)=0,05)
S = motorista está sóbrio (P(S)=0,95)
T1⁺ = primeiro teste dá positivo
T1⁻ = primeiro teste dá negativo
T2⁺ = segundo teste dá positivo
T2⁻ = segundo teste dá negativo
Do enunciado:
P(T1⁺|E)=0,8 e P(T1⁻|E)=0,2
P(T1⁺|S)=0,2 e P(T1⁻|S)=0,8
(ou seja, primeiro teste acerta 80% dos casos)
P(T1⁺|E)=0,8 e P(T1⁻|E)=0,2
P(T1⁺|S)=0,2 e P(T1⁻|S)=0,8
(ou seja, primeiro teste acerta 80% dos casos)
Quem passa no T1⁺ faz o segundo teste, e nele:
P(T2⁻|S,T1⁺)=1 (nunca erra em sóbrio)
P(T2⁻|E,T1⁺)=0,1 (10% de dar errado em embriagado)
P(T2⁻|S,T1⁺)=1 (nunca erra em sóbrio)
P(T2⁻|E,T1⁺)=0,1 (10% de dar errado em embriagado)
Queremos P(E | T1⁺ e T2⁻).
Passo 3
-
Calcular P(E ∧ T1⁺ ∧ T2⁻) usando a regra do produto:
P(E)·P(T1⁺|E)·P(T2⁻|E,T1⁺) -
Calcular P(S ∧ T1⁺ ∧ T2⁻) do mesmo jeito:
P(S)·P(T1⁺|S)·P(T2⁻|S,T1⁺) -
A probabilidade total de “T1⁺ e T2⁻” é a soma desses dois números (lei da probabilidade total).
-
Por fim, Teorema de Bayes:
Passo 4
-
Numerador:
P(E)·P(T1⁺|E)·P(T2⁻|E,T1⁺) = 0,05·0,8·0,1 = 0,004 -
Parcela do sóbrio:
P(S)·P(T1⁺|S)·P(T2⁻|S,T1⁺) = 0,95·0,2·1 = 0,19 -
Denominador = 0,004 + 0,19 = 0,194
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Resposta
A probabilidade de o motorista estar embriagado, dado que o segundo teste deu negativo, é de aproximadamente 2,06%.