Um piloto de Fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o carro tem, pelo menos, um entre dois problemas: de injeção e/ou de bobina. A probabilidade de haver problema de injeção é de 0,60 e a de bobina, 0,70 (os problemas ocorrem de maneira independente). Por outro lado, as probabilidades do carro retornar à corrida são:
0,80 , se houver só problema de bobina, 0,40 , se houver só problema de injeção, 0,20 , se houver ambos os problemas
Se o carro retornou à corrida, qual a probabilidade de que ele tenha retornado com os dois problemas?
0,80 , se houver só problema de bobina, 0,40 , se houver só problema de injeção, 0,20 , se houver ambos os problemas
Se o carro retornou à corrida, qual a probabilidade de que ele tenha retornado com os dois problemas?
Passo 1
Beleza, aqui o que rola:
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O enunciado diz que o carro tem pelo menos um problema: injeção (evento A) com P(A)=0,60 e bobina (evento B) com P(B)=0,70, sendo A e B independentes.
– Se só tiver bobina, volta com prob 0,80; se só tiver injeção, volta com 0,40; se tiver os dois, volta com 0,20.
– Queremos: “dado que o carro voltou, qual a chance de ele ter voltado com os dois problemas?” Ou seja, calcular
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O enunciado diz que o carro tem pelo menos um problema: injeção (evento A) com P(A)=0,60 e bobina (evento B) com P(B)=0,70, sendo A e B independentes.
– Se só tiver bobina, volta com prob 0,80; se só tiver injeção, volta com 0,40; se tiver os dois, volta com 0,20.
– Queremos: “dado que o carro voltou, qual a chance de ele ter voltado com os dois problemas?” Ou seja, calcular
Pra isso vamos usar:
- cálculo das probabilidades dos três cenários (só A, só B, ambos);
- aplicação do teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro a gente diz todos os cenários e suas probabilidades (antes de saber se voltou):
- P(só B) = P(B ∩ Aᶜ) = P(B) – P(A∩B).
- P(só A) = P(A ∩ Bᶜ) = P(A) – P(A∩B).
- P(A∩B) = P(A)·P(B) (por independência).
Logo:
Passo 3
Agora precisamos das probabilidades conjuntas “evento × voltou”. Para cada cenário, é
Então:
– para só B:
– para só A:
– para A∩B:
– para só B:
– para só A:
– para A∩B:
Passo 4
Agora calculamos a probabilidade total de “voltar” somando esses casos (lei da prob. total):
Passo 5
Finalmente uso Bayes para achar a probabilidade de ter sido o caso “A∩B” dado que voltou:
Resposta
A probabilidade de que o carro tenha voltado com os dois problemas, dado que ele retornou, é aproximadamente 0,22 (22%).