Uma prova de múltipla escolha tem 3 questões, cada uma com 5 alternativas. Um determinado aluno não estudou para a prova e resolve chutar as respostas.
Para o aluno ser aprovado, basta ele acertar duas questões.
Qual o número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado?
Para o aluno ser aprovado, basta ele acertar duas questões.
Qual o número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado?
Passo 1
Tranquilo! O enunciado diz: “Uma prova de múltipla escolha com 3 questões e 5 alternativas cada. O aluno chuta tudo (probabilidade de acerto em cada é
). Para ser aprovado, ele precisa acertar pelo menos 2 questões. Sabendo que ele foi aprovado, qual o número esperado de acertos?”
Conteúdo: distribuição binomial, probabilidade condicional e esperança condicional. Vamos usar a fórmula da binomial para achar as probabilidades de 2 e 3 acertos, depois aplicar a definição de esperança condicional.
Conteúdo: distribuição binomial, probabilidade condicional e esperança condicional. Vamos usar a fórmula da binomial para achar as probabilidades de 2 e 3 acertos, depois aplicar a definição de esperança condicional.
Passo 2
Definimos a variável aleatória
= número de acertos nas 3 questões.
Pelo modelo binomial,
Pelo modelo binomial,
com
.
Então:
Então:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
O evento “aprovado” é
.
Passo 4
Queremos a esperança condicional
Calculando o numerador:
Dividindo por
:
Resposta
O número esperado de questões certas, dado que o aluno foi aprovado, é
.