Uma prova de múltipla escolha tem 3 questões, cada uma com 5 alternativas. Um determinado aluno não estudou para a prova e resolve chutar as respostas.
Para o aluno ser aprovado, basta ele acertar duas questões.
Qual o número esperado de questões certas, sabendo que ele foi aprovado?

Passo 1

Tranquilo! O enunciado diz: “Uma prova de múltipla escolha com 3 questões e 5 alternativas cada. O aluno chuta tudo (probabilidade de acerto em cada é ). Para ser aprovado, ele precisa acertar pelo menos 2 questões. Sabendo que ele foi aprovado, qual o número esperado de acertos?”
Conteúdo: distribuição binomial, probabilidade condicional e esperança condicional. Vamos usar a fórmula da binomial para achar as probabilidades de 2 e 3 acertos, depois aplicar a definição de esperança condicional.

Passo 2

Definimos a variável aleatória P(X = k) ;=; binom3k,p^k,(1-p)^3-k, = número de acertos nas 3 questões.
Pelo modelo binomial,
P(X=2) = binom32l(tfrac15r)^2l(tfrac45r)^1 = 3 times tfrac125 times tfrac45 = tfrac12125
com P(X=3) = binom33l(tfrac15r)^3l(tfrac45r)^0 = 1 times tfrac1125 = tfrac1125 .
Então:
  • Para :
  • Para :

Passo 3

O evento “aprovado” é P(A) = P(X=2) + P(X=3) = tfrac12125 + tfrac1125 = tfrac13125 .

Passo 4

Queremos a esperança condicional
E[X mid A] = sumk=2^3 k ,P(X=k mid A) = sumk=2^3 k ,P(X=k)P(A)
Calculando o numerador:
2cdot P(X=2) ;+; 3cdot P(X=3) = 2cdot tfrac12125 ;+; 3cdot tfrac1125 = tfrac24125 + tfrac3125 = tfrac27125
Dividindo por E[X mid A] = tfrac27125tfrac13125 = 2713 :

Resposta

O número esperado de questões certas, dado que o aluno foi aprovado, é .

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