Em uma cidade de
habitantes, uma pessoa conta um boato a uma segunda, a qual, por sua vez, o repete a uma terceira, etc. A cada passo a pessoa que recebe o boato é escolhida aleatoriamente dentre as
pessoa disponíveis. Ache o número de resultados em que o boato seja transmitido
vezes
a) sem voltar à primeira pessoa que o contou;
b) sem que seja repetido a nenhuma pessoa.
a) sem voltar à primeira pessoa que o contou;
b) sem que seja repetido a nenhuma pessoa.
Passo 1
Então, o enunciado diz o seguinte: numa cidade com
pessoas, a pessoa 1 conta um boato para alguém; depois, quem recebeu conta para outra pessoa, e assim por diante, sempre escolhendo aleatoriamente entre as
pessoas que não foram as últimas a falar. A gente quer contar de quantas maneiras isso pode acontecer em
transmissões, em dois cenários:
a) o boato nunca volta pra pessoa 1;
b) o boato nunca é contado para alguém que já ouviu antes (ou seja, sem repetição de público).
Conteúdo usado: princípio multiplicativo de contagem e permutações simples.
a) o boato nunca volta pra pessoa 1;
b) o boato nunca é contado para alguém que já ouviu antes (ou seja, sem repetição de público).
Conteúdo usado: princípio multiplicativo de contagem e permutações simples.
Passo 2
Resolvendo o item (a): “sem voltar à primeira pessoa”.
- Teoria envolvida: sempre que numa sequência de escolhas cada passo tem certo número de opções independentes dos outros, a gente multiplica essas quantidades (princípio multiplicativo).
- No primeiro passo (quem vai ouvir o boato da pessoa 1), como ela não pode se contar a si mesma, existem exatamente
opções. - A partir do segundo passo até o
-ésimo, quem está contando nunca pode voltar para a pessoa 1 nem para quem acabou de contar. Mas, como a pessoa 1 já foi excluída de vez no passo 1, todos os contadores a partir daí não são a pessoa 1; isso significa que, em cada um desses passos, excluímos 2 pessoas (o contador atual e a pessoa 1), sobrando opções. - Pelo princípio multiplicativo, o total é
Passo 3
Resolvendo o item (b): “sem repetir a nenhuma pessoa”.
- Agora, além da regra de não falar para quem acabou de falar, queremos nunca falar para quem já ouviu antes. Ou seja, em cada transmissão a gente escolhe alguém que ainda não apareceu na cadeia de boato.
- No passo 1 (de 1 para o próximo), temos
opções (todas menos a pessoa 1). - No passo 2, sobram
pessoas que ainda não ouviram; no passo 3, pessoas, e assim por diante. - No
-ésimo passo (contagem de 1 a ), sobram exatamente pessoas “novas”. - Logo, o número total de sequências é
que é a permutação de
elementos tomados de
em
.
Resposta
a)
b)
b)