Determine a probabilidade de que entre três dígitos aleatórios apareçam exatamente 1,2 ou 3 algarismos distintos
Passo 1
Beleza, aqui a gente vai pegar três dígitos de 0 a 9, cada um escolhido de forma totalmente aleatória e independente, e quer saber qual a probabilidade de aparecer exatamente 1, 2 ou 3 dígitos diferentes nessa sequência de três.
Conteúdo: probabilidade clássica (resultados equiprováveis) e contagem (permutação e combinação). Vamos precisar contar quantos jeitos diferentes cada situação pode acontecer e dividir pelo total de casos possíveis.
Conteúdo: probabilidade clássica (resultados equiprováveis) e contagem (permutação e combinação). Vamos precisar contar quantos jeitos diferentes cada situação pode acontecer e dividir pelo total de casos possíveis.
Passo 2
Primeiro, qual o total de casos possíveis?
Cada dígito pode ser de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades, e são 3 escolhas independentes.
Total de sequências =
Cada dígito pode ser de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades, e são 3 escolhas independentes.
Total de sequências =
Passo 3
Caso “exatamente 1 dígito distinto” significa que TODOS os três dígitos são iguais (por exemplo 7-7-7).
– Escolher qual dígito vai aparecer: 10 jeitos.
– Arranjar esses três iguais não muda nada (só 1 jeito).
Total de sequências desse tipo:
– Escolher qual dígito vai aparecer: 10 jeitos.
– Arranjar esses três iguais não muda nada (só 1 jeito).
Total de sequências desse tipo:
Então
Passo 4
Caso “exatamente 2 dígitos distintos” significa que um número aparece duas vezes e outro número aparece uma vez (por exemplo 4-4-9).
- Escolher o dígito que vai repetir: 10 jeitos.
- Escolher o dígito diferente: 9 jeitos (não pode ser o mesmo do que repete).
- Distribuir essas posições: a posição do dígito que aparece só uma vez pode ser a 1ª, a 2ª ou a 3ª – são 3 jeitos.
Total de sequências:
Logo
Passo 5
Caso “exatamente 3 dígitos distintos” significa que todos os três são diferentes (por exemplo 2-5-9).
- Escolher quais 3 dígitos (sem ordem):
jeitos. - Depois permutar esses 3 na ordem que aparecerão:
jeitos.
Então o total é
Logo
Resposta
P(exatamente 1 dígito distinto) = 0,01
P(exatamente 2 dígitos distintos) = 0,27
P(exatamente 3 dígitos distintos) = 0,72
P(exatamente 2 dígitos distintos) = 0,27
P(exatamente 3 dígitos distintos) = 0,72