Determine a probabilidade de que entre três dígitos aleatórios apareçam exatamente 1,2 ou 3 algarismos distintos

Passo 1

Beleza, aqui a gente vai pegar três dígitos de 0 a 9, cada um escolhido de forma totalmente aleatória e independente, e quer saber qual a probabilidade de aparecer exatamente 1, 2 ou 3 dígitos diferentes nessa sequência de três.
Conteúdo: probabilidade clássica (resultados equiprováveis) e contagem (permutação e combinação). Vamos precisar contar quantos jeitos diferentes cada situação pode acontecer e dividir pelo total de casos possíveis.

Passo 2

Primeiro, qual o total de casos possíveis?
Cada dígito pode ser de 0 a 9, ou seja, 10 possibilidades, e são 3 escolhas independentes.
Total de sequências =
10 times 10 times 10 = 10^3 = 1000

Passo 3

Caso “exatamente 1 dígito distinto” significa que TODOS os três dígitos são iguais (por exemplo 7-7-7).
– Escolher qual dígito vai aparecer: 10 jeitos.
– Arranjar esses três iguais não muda nada (só 1 jeito).
Total de sequências desse tipo:
10 times 1 = 10
Então
P(1 dígito distinto) = 101000 = 0,01 í

Passo 4

Caso “exatamente 2 dígitos distintos” significa que um número aparece duas vezes e outro número aparece uma vez (por exemplo 4-4-9).
  1. Escolher o dígito que vai repetir: 10 jeitos.
  2. Escolher o dígito diferente: 9 jeitos (não pode ser o mesmo do que repete).
  3. Distribuir essas posições: a posição do dígito que aparece só uma vez pode ser a 1ª, a 2ª ou a 3ª – são 3 jeitos.
    Total de sequências:
10 times 9 times 3 = 270
Logo
P(2 dígitos distintos) = 2701000 = 0,27 í

Passo 5

Caso “exatamente 3 dígitos distintos” significa que todos os três são diferentes (por exemplo 2-5-9).
  1. Escolher quais 3 dígitos (sem ordem): binom103times 3! = 120 times 6 = 720 jeitos.
  2. Depois permutar esses 3 na ordem que aparecerão: P(3 dígitos distintos) = 7201000 = 0,72 jeitos.
    Então o total é
Logo
í

Resposta

P(exatamente 1 dígito distinto) = 0,01
P(exatamente 2 dígitos distintos) = 0,27
P(exatamente 3 dígitos distintos) = 0,72

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