Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
  • 470 são sócias do clube A;
  • 420 são sócias do clube B;
  • 315 são sócias do clube C;
  • 110 são sócias dos clubes A e B;
  • 220 são sócias dos clubes A e C;
  • 140 são sócias dos clubes B e C;
  • 75 são sócias dos 3 clubes.
    Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
    seja sócia de apenas um clube?

Passo 1

Beleza, então vamos recapitular o que o enunciado diz: temos 1000 famílias e três clubes A, B e C.
Dados:
  • |A| = 470
  • |B| = 420
  • |C| = 315
  • |A ∩ B| = 110
  • |A ∩ C| = 220
  • |B ∩ C| = 140
  • |A ∩ B ∩ C| = 75
O que o enunciado pede é: “Qual a probabilidade de uma família ser sócia de apenas um clube?”
Conteúdo: probabilidade básica e teoria de conjuntos, especialmente o princípio da inclusão-exclusão.
Para resolver, vamos precisar usar a fórmula que calcula quantos elementos pertencem exatamente a um único conjunto (A somente, B somente e C somente).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a ideia de “A somente”.
“A somente” significa as famílias que estão em A, mas não estão em B nem em C.
Em teoria de conjuntos, a gente usa:
|A só| ;=; |A| ;-; |A cap (B cup C)| ó
E pelo princípio da inclusão-exclusão:
|A cap (B cup C)| ;=; |A cap B| + |A cap C| ;-; |A cap B cap C|
Então:
|A só| = |A| - l(|A cap B| + |A cap C| - |A cap B cap C|r) ó

Passo 3

Fazendo o mesmo para B só e C só, a fórmula geral é:
|X só| = |X| - l(|Xcap Y| + |Xcap Z| - |Xcap Ycap Z|r), ó
onde (X,Y,Z) é uma permutação de (A,B,C).
Vamos calcular um por um:
  1. A somente:
|A só| = 470 - (110 + 220 - 75) = 470 - 255 = 215 ó
  1. B somente:
|B só| = 420 - (110 + 140 - 75) = 420 - 175 = 245 ó
  1. C somente:
|C só| = 315 - (220 + 140 - 75) = 315 - 285 = 30 ó

Passo 4

Agora somamos quantas famílias são sócias de exatamente um clube:
Total só de um = |A só| + |B só| + |C só| = 215 + 245 + 30 = 490 óóóó
Como no total temos 1000 famílias, a probabilidade pedida é:
P(sócio de 1 clube) = 4901000 = 0,49 ó

Resposta

A probabilidade de uma família ser sócia de apenas um clube é 0,49 (ou 49%).

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