Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
- 470 são sócias do clube
;
- 420 são sócias do clube
;
- 315 são sócias do clube
;
- 110 são sócias dos clubes
e
;
- 220 são sócias dos clubes
e
;
- 140 são sócias dos clubes
e
;
- 75 são sócias dos 3 clubes.
Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
seja sócia de apenas um clube?
Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
seja sócia de apenas um clube?
Passo 1
Beleza, então vamos recapitular o que o enunciado diz: temos 1000 famílias e três clubes A, B e C.
Dados:
Dados:
- |A| = 470
- |B| = 420
- |C| = 315
- |A ∩ B| = 110
- |A ∩ C| = 220
- |B ∩ C| = 140
- |A ∩ B ∩ C| = 75
O que o enunciado pede é: “Qual a probabilidade de uma família ser sócia de apenas um clube?”
Conteúdo: probabilidade básica e teoria de conjuntos, especialmente o princípio da inclusão-exclusão.
Para resolver, vamos precisar usar a fórmula que calcula quantos elementos pertencem exatamente a um único conjunto (A somente, B somente e C somente).
Conteúdo: probabilidade básica e teoria de conjuntos, especialmente o princípio da inclusão-exclusão.
Para resolver, vamos precisar usar a fórmula que calcula quantos elementos pertencem exatamente a um único conjunto (A somente, B somente e C somente).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a ideia de “A somente”.
“A somente” significa as famílias que estão em A, mas não estão em B nem em C.
Em teoria de conjuntos, a gente usa:
“A somente” significa as famílias que estão em A, mas não estão em B nem em C.
Em teoria de conjuntos, a gente usa:
E pelo princípio da inclusão-exclusão:
Então:
Passo 3
Fazendo o mesmo para B só e C só, a fórmula geral é:
onde (X,Y,Z) é uma permutação de (A,B,C).
Vamos calcular um por um:
- A somente:
- B somente:
- C somente:
Passo 4
Agora somamos quantas famílias são sócias de exatamente um clube:
Como no total temos 1000 famílias, a probabilidade pedida é:
Resposta
A probabilidade de uma família ser sócia de apenas um clube é 0,49 (ou 49%).