Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
  • 470 são sócias do clube A;
  • 420 são sócias do clube B;
  • 315 são sócias do clube C;
  • 110 são sócias dos clubes A e B;
  • 220 são sócias dos clubes A e C;
  • 140 são sócias dos clubes B e C;
  • 75 são sócias dos 3 clubes.
    Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
    não seja sócia de qualquer um dos clubes?

Passo 1

Então, o enunciado diz que numa cidade temos 1000 famílias e três clubes (A, B e C). Foram coletados esses números:
  • |A| = 470
  • |B| = 420
  • |C| = 315
  • |A∩B| = 110
  • |A∩C| = 220
  • |B∩C| = 140
  • |A∩B∩C| = 75
Queremos a probabilidade de uma família NÃO ser sócia de nenhum dos clubes. Esse tipo de problema usa o conteúdo de probabilidade em conjuntos e, mais especificamente, o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar quantos estão em pelo menos um conjunto (A ∪ B ∪ C). Depois, a gente faz o complementar para achar quem não está em nenhum.

Passo 2

Pela teoria de conjuntos, o número de famílias que são sócias de pelo menos um clube (A ∪ B ∪ C) é dado por:
|Acup Bcup C| =|A|+|B|+|C| -,l(|Acap B|+|Acap C|+|Bcap C|r) +|Acap Bcap C|
Substituindo:
|Acup Bcup C| =470+420+315 -l(110+220+140r) +75 =1205-470+75 =810

Passo 3

Agora, das 1000 famílias, 810 estão em pelo menos um clube. Logo, as que não são sócias de nenhum clube são
1000 - 810 = 190
A probabilidade é esse valor dividido pelo total de famílias:
P(nenhum clube) =1901000 =0,19 =19%

Resposta

A probabilidade de uma família não ser sócia de qualquer um dos clubes é (ou 19%).

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