Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
- 470 são sócias do clube
;
- 420 são sócias do clube
;
- 315 são sócias do clube
;
- 110 são sócias dos clubes
e
;
- 220 são sócias dos clubes
e
;
- 140 são sócias dos clubes
e
;
- 75 são sócias dos 3 clubes.
Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
não seja sócia de qualquer um dos clubes?
Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
não seja sócia de qualquer um dos clubes?
Passo 1
Então, o enunciado diz que numa cidade temos 1000 famílias e três clubes (A, B e C). Foram coletados esses números:
- |A| = 470
- |B| = 420
- |C| = 315
- |A∩B| = 110
- |A∩C| = 220
- |B∩C| = 140
- |A∩B∩C| = 75
Queremos a probabilidade de uma família NÃO ser sócia de nenhum dos clubes. Esse tipo de problema usa o conteúdo de probabilidade em conjuntos e, mais especificamente, o Princípio da Inclusão-Exclusão para contar quantos estão em pelo menos um conjunto (A ∪ B ∪ C). Depois, a gente faz o complementar para achar quem não está em nenhum.
Passo 2
Pela teoria de conjuntos, o número de famílias que são sócias de pelo menos um clube (A ∪ B ∪ C) é dado por:
Substituindo:
Passo 3
Agora, das 1000 famílias, 810 estão em pelo menos um clube. Logo, as que não são sócias de nenhum clube são
A probabilidade é esse valor dividido pelo total de famílias:
Resposta
A probabilidade de uma família não ser sócia de qualquer um dos clubes é
(ou 19%).