Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
  • 470 são sócias do clube A;
  • 420 são sócias do clube B;
  • 315 são sócias do clube C;
  • 110 são sócias dos clubes A e B;
  • 220 são sócias dos clubes A e C;
  • 140 são sócias dos clubes B e C;
  • 75 são sócias dos 3 clubes.
    Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
    seja sócia de pelo menos dois clubes?

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: numa cidade há três clubes A, B e C. Das 1000 famílias:
  • 470 são sócias de A
  • 420 são sócias de B
  • 315 são sócias de C
  • 110 são sócias de A e B
  • 220 são sócias de A e C
  • 140 são sócias de B e C
  • 75 são sócias dos três clubes
Queremos a probabilidade de, ao escolher uma família ao acaso, ela ser sócia de pelo menos dois clubes.
Conteúdo: probabilidade em conjuntos, interseções e princípio da inclusão-exclusão (ou então cálculo de “exatamente dois” + “três”). Vamos usar esses conceitos do zero.

Passo 2

Definindo eventos:
A família é do clube A (evento ), do B ( ) e do C ( ).
“Pelo menos dois clubes” significa que ela está em exatamente 2 ou em exatamente 3 dos conjuntos.
Teoria que vamos precisar:
  1. Se soubermos , , e , dá pra achar quantas famílias estão exatamente em dois clubes subtraindo quem está nos três.
  2. Somamos as “exatamente duas” + as “três” e dividimos pelo total de famílias (1000) para virar probabilidade.

Passo 3

Vamos achar quantas famílias estão exatamente em cada par de clubes. Por exemplo, em A e B mas não em C:
|Acap B apenas| = |Acap B| - |Acap Bcap C| = 110 - 75 = 35
Do mesmo jeito:
|Acap C apenas| = 220 - 75 = 145, |Bcap C apenas| = 140 - 75 = 65

Passo 4

Total de famílias em exatamente dois clubes = .
Já temos 75 famílias em três clubes.
Então, famílias em pelo menos dois clubes = .

Passo 5

Para virar probabilidade, divide pelo total de famílias (1000):
P(pelo menos 2 clubes) = 3201000 = 0,32

Resposta

A probabilidade é (ou 32%).

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