(Estratégia Militares 2021 - Inédita - Prof. Ismael Santos) Os 130 alunos do primeiro ano da EPCAr submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar dentro da própria turma. Sabendo que dentre estes alunos, 63 acertaram a primeira questão, 66 acertaram a segunda, 62 acertaram a terceira, 34 acertaram a primeira e a segunda, 28 acertaram a primeira e a terceira, 24 acertaram a segunda e a terceira e, 14 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que acertaram todas as 3 questões é tal que a soma de seus algarismos é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 130 alunos que fizeram uma prova com 3 questões. Queremos descobrir quantos alunos acertaram todas as 3 questões. Para isso, vamos usar a Princípio da Inclusão-Exclusão, que nos ajuda a contar elementos que pertencem a múltiplos conjuntos sem contar ninguém duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos alunos acertaram pelo menos uma das questões. Sabemos que 14 alunos erraram todas as questões. Então, os que acertaram pelo menos uma são:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão. Esse princípio nos diz que para três conjuntos
,
e
:
Onde:
-
alunos acertaram a primeira questão. -
alunos acertaram a segunda questão. -
alunos acertaram a terceira questão. -
alunos acertaram as duas primeiras questões. -
alunos acertaram a primeira e a terceira questões. -
alunos acertaram a segunda e a terceira questões. -
alunos que queremos encontrar (acertaram todas as 3).
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Ou seja, 11 alunos acertaram todas as 3 questões.
Resposta
A soma dos algarismos de 11 é
. Portanto, a resposta é a letra a) 2.