(Estratégia Militares 2021 - Inédita - Prof. Ismael Santos) Os 130 alunos do primeiro ano da EPCAr submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar dentro da própria turma. Sabendo que dentre estes alunos, 63 acertaram a primeira questão, 66 acertaram a segunda, 62 acertaram a terceira, 34 acertaram a primeira e a segunda, 28 acertaram a primeira e a terceira, 24 acertaram a segunda e a terceira e, 14 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que acertaram todas as 3 questões é tal que a soma de seus algarismos é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 130 alunos que fizeram uma prova com 3 questões. Queremos descobrir quantos alunos acertaram todas as 3 questões. Para isso, vamos usar a Princípio da Inclusão-Exclusão, que nos ajuda a contar elementos que pertencem a múltiplos conjuntos sem contar ninguém duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos alunos acertaram pelo menos uma das questões. Sabemos que 14 alunos erraram todas as questões. Então, os que acertaram pelo menos uma são:
Total que acertaram pelo menos uma = 130 - 14 = 116

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Princípio da Inclusão-Exclusão. Esse princípio nos diz que para três conjuntos |Q1 cup Q2 cup Q3| = |Q1| + |Q2| + |Q3| - |Q1 cap Q2| - |Q1 cap Q3| - |Q2 cap Q3| + |Q1 cap Q2 cap Q3| , 116 = 63 + 66 + 62 - 34 - 28 - 24 + x e :
Onde:
  • alunos acertaram a primeira questão.
  • alunos acertaram a segunda questão.
  • alunos acertaram a terceira questão.
  • alunos acertaram as duas primeiras questões.
  • alunos acertaram a primeira e a terceira questões.
  • alunos acertaram a segunda e a terceira questões.
  • alunos que queremos encontrar (acertaram todas as 3).
Substituindo os valores na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular o lado direito da equação:
63 + 66 + 62 = 191
34 + 28 + 24 = 86
191 - 86 = 105
Então, a equação fica:
116 = 105 + x

Passo 5

Agora, isolamos x = 116 - 105 = 11 :
Ou seja, 11 alunos acertaram todas as 3 questões.

Resposta

A soma dos algarismos de 11 é . Portanto, a resposta é a letra a) 2.

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