Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
470 são sócias do clube ;
420 são sócias do clube ;
315 são sócias do clube ;
110 são sócias dos clubes e ;
220 são sócias dos clubes e ;
140 são sócias dos clubes e ;
75 são sócias dos 3 clubes.
Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
h. não seja sócia de qualquer um dos clubes?
i. seja sócia de apenas um clube?
j. seja sócia de pelo menos dois clubes?
Passo 1
O enunciado diz que há famílias e define três conjuntos: famílias sócias do clube A, famílias sócias do clube B, famílias sócias do clube C.
Foram obtidos os valores
Queremos as probabilidades de:
h. não sócia de nenhum clube;
i. sócia de exatamente um clube;
j. sócia de pelo menos dois clubes.
Vamos usar a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos e depois complementar e distribuir interseções para obter as contagens desejadas.
Passo 2
Calcular pelo princípio da inclusão-exclusão:
Substituindo,
Passo 3
O número de famílias que não são sócias de nenhum clube é o complemento de em :
Logo a probabilidade pedida em (h) é 1901000=0,19.
Passo 4
Para famílias sócias de exatamente um clube usamos, por exemplo,
l|A sór| =|A|-l(|Acap B|+|Acap C|r)+|Acap Bcap C|, ó
e fazemos o mesmo para B e C. Assim:
|A só|=470-(110+220)+75=215, ó
|B só|=420-(110+140)+75=245, ó
|C só|=315-(220+140)+75=30 ó
Somando,
l|exatamente umr| =215+245+30 =490
A probabilidade de (i) é 4901000=0,49.
Passo 5
Famílias sócias de pelo menos dois clubes incluem as que são sócias de exatamente dois e as de exatamente três. Calculamos primeiro as de exatamente dois: