Em uma cidade há três clubes A, B, C. Em um grupo de 1000 famílias constatouse que:
  • 470 são sócias do clube A;
  • 420 são sócias do clube B;
  • 315 são sócias do clube C;
  • 110 são sócias dos clubes A e B;
  • 220 são sócias dos clubes A e C;
  • 140 são sócias dos clubes B e C;
  • 75 são sócias dos 3 clubes.
Escolhendo-se ao acaso uma família, qual é a probabilidade de que ela:
h. não seja sócia de qualquer um dos clubes?
i. seja sócia de apenas um clube?
j. seja sócia de pelo menos dois clubes?

Passo 1

O enunciado diz que há 1000 famílias e define três conjuntos:
A = famílias sócias do clube A,
B = famílias sócias do clube B,
C = famílias sócias do clube C.
Foram obtidos os valores
|A|=470, |B|=420, |C|=315,
|Acap B|=110, |Acap C|=220, |Bcap C|=140, |Acap Bcap C|=75
Queremos as probabilidades de:
h. não sócia de nenhum clube;
i. sócia de exatamente um clube;
j. sócia de pelo menos dois clubes.
Vamos usar a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos e depois complementar e distribuir interseções para obter as contagens desejadas.

Passo 2

Calcular |Acup Bcup C| pelo princípio da inclusão-exclusão:
|Acup Bcup C| =|A|+|B|+|C| -l(|Acap B|+|Acap C|+|Bcap C|r) +|Acap Bcap C|
Substituindo,
|Acup Bcup C| =470+420+315-(110+220+140)+75 =1205-470+75 =810

Passo 3

O número de famílias que não são sócias de nenhum clube é o complemento de Acup Bcup C em 1000:
l|nenhumr| =1000-|Acup Bcup C| =1000-810 =190
Logo a probabilidade pedida em (h) é
1901000=0,19.

Passo 4

Para famílias sócias de exatamente um clube usamos, por exemplo,
l|A sór| =|A|-l(|Acap B|+|Acap C|r)+|Acap Bcap C|, ó
e fazemos o mesmo para B e C. Assim:
|A só|=470-(110+220)+75=215, ó
|B só|=420-(110+140)+75=245, ó
|C só|=315-(220+140)+75=30 ó
Somando,
l|exatamente umr| =215+245+30 =490
A probabilidade de (i) é
4901000=0,49.

Passo 5

Famílias sócias de pelo menos dois clubes incluem as que são sócias de exatamente dois e as de exatamente três. Calculamos primeiro as de exatamente dois:
|Acap B só|=|Acap B|-|Acap Bcap C|=110-75=35, ó
|Acap C só|=220-75=145, ó
|Bcap C só|=140-75=65 ó
Então
l|exatamente doisr|=35+145+65=245,
e l|exatamente trêsr|=75ê. Portanto
l|pelo menos doisr| =245+75 =320,
e a probabilidade de (j) é
3201000=0,32.

Resposta

h. 0,19
i. 0,49
j. 0,32

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