As cidades seguintes candidataram-se a sede de um torneio internacional de futebol que será realizado no Brasil: Manaus, Belém, São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, Teresina, Vitória, Campinas e São Luís.
a) Sabendo que a cidade escolhida não fica na região Sudeste, qual a probabilidade de que seja Teresina?
b) Se nem Salvador nem Fortaleza foram as cidades escolhidas, qual é a probabilidade de que a sede seja uma cidade do Sudeste?
a) Sabendo que a cidade escolhida não fica na região Sudeste, qual a probabilidade de que seja Teresina?
b) Se nem Salvador nem Fortaleza foram as cidades escolhidas, qual é a probabilidade de que a sede seja uma cidade do Sudeste?
Passo 1
O enunciado dá a lista das cidades candidatas (13 no total): Manaus, Belém, São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, Teresina, Vitória, Campinas e São Luís.
Pede duas coisas:
- Sabendo que a cidade escolhida NÃO fica na região Sudeste, qual a probabilidade de que seja Teresina?
- Sabendo que NEM Salvador nem Fortaleza foram escolhidas, qual a probabilidade de que a sede seja uma cidade do Sudeste?
Passo 2
Primeiro vou identificar, dentre as 13 cidades, quais ficam na região Sudeste (para poder contar favoritos e possíveis resultados). As cidades da lista que ficam no Sudeste são: São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Vitória e Campinas. Contei
cidades do Sudeste.
Passo 3
As demais cidades (que não são do Sudeste) na lista são: Manaus, Belém, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, Teresina e São Luís. Contei
cidades que NÃO são do Sudeste. Note que
, conferindo os totais.
Passo 4
Explico a ideia de probabilidade condicional que usaremos, de forma simples e prática: quando todos os resultados são igualmente prováveis (a escolha da cidade é aleatória entre as candidatas), a probabilidade de um evento
dado que ocorreu
é a razão entre o número de resultados que satisfazem ambos
e
e o número de resultados que satisfazem
. Em símbolos, para contagem finita e resultados equiprováveis,
Aqui
significa "número de elementos do conjunto
". Vou aplicar isso diretamente aos casos.
Passo 5
Resolvendo (a). O evento pedido é “ser Teresina” dado que a cidade escolhida não é do Sudeste. No espaço amostral condicionado (não Sudeste) há
cidades (lista no Passo 3). O evento favorável
— ser Teresina e não ser do Sudeste — contém exatamente
cidade: Teresina. Assim
Se quiser, isso é
em decimal (opcional).
Passo 6
Resolvendo (b). A informação dada é que nem Salvador nem Fortaleza foram escolhidas. Isso significa que descartamos essas duas cidades do universo de candidatos. O total de cidades restantes passa a ser
. Observação: Salvador e Fortaleza não eram cidades do Sudeste, então o número de cidades do Sudeste permanece
(São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Vitória, Campinas). Queremos a probabilidade de que a cidade escolhida seja do Sudeste, dado que Salvador e Fortaleza não foram escolhidas. Aplicando a contagem:
Em decimal isso dá aproximadamente
.
Passo 7
Resumo rápido de verificação: os denominadores são os tamanhos dos espaços condicionados (
no item (a) e
no item (b)), e os numeradores são as contagens de cidades favoráveis dentro desses espaços (
no (a) e
no (b)). Nada de probabilidade complicada — é contagem simples com hipótese de equiprobabilidade.