As cidades seguintes candidataram-se a sede de um torneio internacional de futebol que será realizado no Brasil: Manaus, Belém, São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, Teresina, Vitória, Campinas e São Luís.
a) Sabendo que a cidade escolhida não fica na região Sudeste, qual a probabilidade de que seja Teresina?
b) Se nem Salvador nem Fortaleza foram as cidades escolhidas, qual é a probabilidade de que a sede seja uma cidade do Sudeste?

Passo 1

O enunciado dá a lista das cidades candidatas (13 no total): Manaus, Belém, São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, Teresina, Vitória, Campinas e São Luís.
Pede duas coisas:
  1. Sabendo que a cidade escolhida NÃO fica na região Sudeste, qual a probabilidade de que seja Teresina?
  2. Sabendo que NEM Salvador nem Fortaleza foram escolhidas, qual a probabilidade de que a sede seja uma cidade do Sudeste?

Passo 2

Primeiro vou identificar, dentre as 13 cidades, quais ficam na região Sudeste (para poder contar favoritos e possíveis resultados). As cidades da lista que ficam no Sudeste são: São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Vitória e Campinas. Contei 5 cidades do Sudeste.

Passo 3

As demais cidades (que não são do Sudeste) na lista são: Manaus, Belém, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, Teresina e São Luís. Contei 8 cidades que NÃO são do Sudeste. Note que 13-5=8, conferindo os totais.

Passo 4

Explico a ideia de probabilidade condicional que usaremos, de forma simples e prática: quando todos os resultados são igualmente prováveis (a escolha da cidade é aleatória entre as candidatas), a probabilidade de um evento A dado que ocorreu B é a razão entre o número de resultados que satisfazem ambos A e B e o número de resultados que satisfazem B. Em símbolos, para contagem finita e resultados equiprováveis,
P(A\mid B)=\frac{\#(A\cap B)}{\#(B)}.
Aqui \#(X) significa "número de elementos do conjunto X". Vou aplicar isso diretamente aos casos.

Passo 5

Resolvendo (a). O evento pedido é “ser Teresina” dado que a cidade escolhida não é do Sudeste. No espaço amostral condicionado (não Sudeste) há \#(B)=8 cidades (lista no Passo 3). O evento favorável A\cap B — ser Teresina e não ser do Sudeste — contém exatamente 1 cidade: Teresina. Assim
P(\text{Teresina}\mid \text{não Sudeste})=\frac{1}{8}.ã
Se quiser, isso é 0,125 em decimal (opcional).

Passo 6

Resolvendo (b). A informação dada é que nem Salvador nem Fortaleza foram escolhidas. Isso significa que descartamos essas duas cidades do universo de candidatos. O total de cidades restantes passa a ser 13-2=11. Observação: Salvador e Fortaleza não eram cidades do Sudeste, então o número de cidades do Sudeste permanece 5 (São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Vitória, Campinas). Queremos a probabilidade de que a cidade escolhida seja do Sudeste, dado que Salvador e Fortaleza não foram escolhidas. Aplicando a contagem:
P(\text{Sudeste}\mid \text{não Salvador e não Fortaleza})=\frac{\#(\text{Sudeste})}{\#(\text{restantes})}=\frac{5}{11}.ãã
Em decimal isso dá aproximadamente 0{,}4545\ldots.

Passo 7

Resumo rápido de verificação: os denominadores são os tamanhos dos espaços condicionados ( 8 no item (a) e 11 no item (b)), e os numeradores são as contagens de cidades favoráveis dentro desses espaços ( 1 no (a) e 5 no (b)). Nada de probabilidade complicada — é contagem simples com hipótese de equiprobabilidade.

Resposta

\tfrac{1}{8}
\tfrac{5}{11}

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