- (ENEM - 2016) Um casal, ambos com 30 anos de idade, pretende fazer um plano de previdência privada. A seguradora pesquisada, para definir o valor do recolhimento mensal, estima a probabilidade de que pelo menos um deles esteja vivo daqui a 50 anos, tomando por base dados da população, que indicam que
dos homens e
das mulheres de hoje alcançarão a idade de 80 anos. Qual é essa probabilidade?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a probabilidade de que, daqui a 50 anos, pelo menos uma das duas pessoas (o homem e a mulher do casal) esteja viva.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A probabilidade de o homem, hoje com 30 anos, alcançar 80 anos é
. - A probabilidade de a mulher, hoje com 30 anos, alcançar 80 anos é
.
Não há outras informações fornecidas no enunciado (por exemplo, dependência entre eventos), então usaremos as informações acima para calcular a probabilidade pedida.
Passo 2
Definimos eventos úteis e explicamos os conceitos usados.
- Seja
o evento “o homem estará vivo aos 80 anos”. Então . - Seja
o evento “a mulher estará viva aos 80 anos”. Então .
Queremos, isto é, .
Fórmula útil (complemento): para qualquer evento, , onde é o evento complementar (ou seja, “A não ocorre”). Aqui é muitas vezes mais fácil calcular a probabilidade complementar: “nenhum dos dois está vivo”.
Passo 3
Explicar independência e regra do produto (aula curta).
- Se os eventos
e são independentes, então . Independência significa que o fato de um viver até 80 não altera a chance do outro, e na maioria desses problemas de probabilidades de sobrevivência populacional assume-se independência salvo indicação em contrário. - A regra do produto para eventos independentes diz: a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Aqui aplicamos essa regra ao complemento: a probabilidade de ambos morrerem antes de 80 (ou seja, nenhum chegar a 80) é o produto das probabilidades de cada um não chegar.
Passo 4
Calcular as probabilidades complementares individuais.
- Probabilidade do homem NÃO chegar aos 80:
. - Probabilidade da mulher NÃO chegar aos 80:
.
Passo 5
Calcular a probabilidade de nenhum dos dois estar vivo aos 80 (usando independência e a regra do produto).
Agora multiplicamos:
.
Passo 6
Usar o complemento para obter a probabilidade pedida (“pelo menos um vivo”).
A probabilidade de pelo menos um estar vivo é
A probabilidade de pelo menos um estar vivo é
Convertendo para porcentagem, isso é
.
Passo 7
Interpretação e verificação rápida com exemplo concreto (mini reforço).
Significa que, segundo as taxas dadas e assumindo independência, em média 44 em cada 100 casais parecidos terão pelo menos um dos dois vivo aos 80. Faz sentido: não é simplesmente porque devemos descontar a dupla contagem do caso em que ambos chegam (por isso usamos o complemento corretamente).
Significa que, segundo as taxas dadas e assumindo independência, em média 44 em cada 100 casais parecidos terão pelo menos um dos dois vivo aos 80. Faz sentido: não é simplesmente
Resposta
b)