1. (ENEM - 2016) Um casal, ambos com 30 anos de idade, pretende fazer um plano de previdência privada. A seguradora pesquisada, para definir o valor do recolhimento mensal, estima a probabilidade de que pelo menos um deles esteja vivo daqui a 50 anos, tomando por base dados da população, que indicam que 20 \% dos homens e 30 \% das mulheres de hoje alcançarão a idade de 80 anos. Qual é essa probabilidade?
    a) 50 \%
    b) 44 \%
    c) 38 \%
    d) 25 \%
    e) 6 \%

Passo 1

O enunciado pede: calcular a probabilidade de que, daqui a 50 anos, pelo menos uma das duas pessoas (o homem e a mulher do casal) esteja viva.
Informações dadas:
  • A probabilidade de o homem, hoje com 30 anos, alcançar 80 anos é 0{,}20.
  • A probabilidade de a mulher, hoje com 30 anos, alcançar 80 anos é 0{,}30.
    Não há outras informações fornecidas no enunciado (por exemplo, dependência entre eventos), então usaremos as informações acima para calcular a probabilidade pedida.

Passo 2

Definimos eventos úteis e explicamos os conceitos usados.
  • Seja M o evento “o homem estará vivo aos 80 anos”. Então \Pr(M)=0{,}20.
  • Seja W o evento “a mulher estará viva aos 80 anos”. Então \Pr(W)=0{,}30.
    Queremos \Pr(\text{pelo menos um vivo}), isto é, \Pr(M\\ \text{ou}\\ W).
    Fórmula útil (complemento): para qualquer evento A, \Pr(A)=1-\Pr(A^c), onde A^c é o evento complementar (ou seja, “A não ocorre”). Aqui é muitas vezes mais fácil calcular a probabilidade complementar: “nenhum dos dois está vivo”.

Passo 3

Explicar independência e regra do produto (aula curta).
  • Se os eventos M e W são independentes, então \Pr(M^c\cap W^c)=\Pr(M^c)\cdot\Pr(W^c). Independência significa que o fato de um viver até 80 não altera a chance do outro, e na maioria desses problemas de probabilidades de sobrevivência populacional assume-se independência salvo indicação em contrário.
  • A regra do produto para eventos independentes diz: a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Aqui aplicamos essa regra ao complemento: a probabilidade de ambos morrerem antes de 80 (ou seja, nenhum chegar a 80) é o produto das probabilidades de cada um não chegar.

Passo 4

Calcular as probabilidades complementares individuais.
  • Probabilidade do homem NÃO chegar aos 80: \Pr(M^c)=1-\Pr(M)=1-0{,}20=0{,}80.
  • Probabilidade da mulher NÃO chegar aos 80: \Pr(W^c)=1-\Pr(W)=1-0{,}30=0{,}70.

Passo 5

Calcular a probabilidade de nenhum dos dois estar vivo aos 80 (usando independência e a regra do produto).
\Pr(M^c\cap W^c)=\Pr(M^c)\cdot\Pr(W^c)=0{,}80\cdot 0{,}70.
Agora multiplicamos: 0{,}80\cdot 0{,}70=0{,}56.

Passo 6

Usar o complemento para obter a probabilidade pedida (“pelo menos um vivo”).
A probabilidade de pelo menos um estar vivo é
\Pr(M\cup W)=1-\Pr(M^c\cap W^c)=1-0{,}56=0{,}44.
Convertendo para porcentagem, isso é 44\%.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida com exemplo concreto (mini reforço).
Significa que, segundo as taxas dadas e assumindo independência, em média 44 em cada 100 casais parecidos terão pelo menos um dos dois vivo aos 80. Faz sentido: não é simplesmente 0{,}20+0{,}30=0{,}50 porque devemos descontar a dupla contagem do caso em que ambos chegam (por isso usamos o complemento corretamente).

Resposta

b) 44\%

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