(UNICAMP) Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é 0,10 .
a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo todo estar com tuberculose?
b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?

Passo 1

O enunciado dá um grupo com 400 homens e 600 mulheres. As probabilidades condicionais de tuberculose são: para um homem P(T\mid M)=0,05 e para uma mulher P(T\mid W)=0,10. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso do grupo todo ter tuberculose?
b) Se uma pessoa escolhida ao acaso tem tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?
Informações relevantes listadas:
  • Número de homens: 400.
  • Número de mulheres: 600.
  • Total de pessoas: 400+600=1000.
  • P(T\mid M)=0,05 (probabilidade de tuberculose dado que é homem).
  • P(T\mid W)=0,10 (probabilidade de tuberculose dado que é mulher).
  • Queremos P(T) (parte a) ) e P(M\mid T) (parte b) ).

Passo 2

Vamos traduzir as quantidades em probabilidades simples de seleção de gênero. A probabilidade de escolher um homem ao acaso no grupo é a fração de homens:
P(M)=\frac{400}{1000}=0,4.
A probabilidade de escolher uma mulher é
P(W)=\frac{600}{1000}=0,6.
Essas probabilidades representam a chance de a pessoa selecionada ser homem ou mulher antes de sabermos se tem tuberculose.

Passo 3

Para responder (a) usamos a ideia intuitiva: a probabilidade de alguém ter tuberculose vem de dois caminhos — ser homem e ter tuberculose, ou ser mulher e ter tuberculose — e somamos essas contribuições ponderadas pela fração de cada gênero. Em linguagem de probabilidade, isso é a fórmula da probabilidade total:
P(T)=P(M)\,P(T\mid M)+P(W)\,P(T\mid W).
Aqui cada termo significa: P(M) é a chance de ser homem e P(T\mid M) é a chance de ter tuberculose se for homem; o produto dá a probabilidade conjunta de ser homem e ter tuberculose. O mesmo vale para mulheres.

Passo 4

Agora substituímos os números e calculamos passo a passo:
P(M)\,P(T\mid M)=0,4\cdot 0,05=0,02,
P(W)\,P(T\mid W)=0,6\cdot 0,10=0,06.
Somando:
P(T)=0,02+0,06=0,08.
Interpretação prática: espera-se 400\cdot 0,05=20 homens com tuberculose e 600\cdot 0,10=60 mulheres com tuberculose, total 20+60=80 casos em 1000 pessoas, ou seja 80/1000=0,08 (ou 8\%).

Passo 5

Para responder (b) precisamos da probabilidade condicional inversa P(M\mid T): a chance da pessoa ser homem sabendo que ela tem tuberculose. Usamos a definição de probabilidade condicional ou o Teorema de Bayes em forma direta:
P(M\mid T)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}.
O numerador P(M\cap T) é P(M)P(T\mid M), que já calculamos como 0,02. O denominador é P(T)=0,08 obtido na parte (a).

Passo 6

Substituindo:
P(M\mid T)=\frac{0,02}{0,08}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25.
Em termos de contagem (intuitivo): dos 80 casos de tuberculose no grupo, 20 são homens, então a probabilidade de um caso ser homem é 20/80=1/4=0,25 (ou 25\%).

Resposta

a) 0,08 (ou 8\%)
b) 0,25 (ou 25\%)

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