(UNICAMP) Num grupo de 400 homens e 600 mulheres, a probabilidade de um homem estar com tuberculose é de 0,05 e de uma mulher estar com tuberculose é 0,10 .
a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo todo estar com tuberculose?
b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?
a) Qual a probabilidade de uma pessoa do grupo todo estar com tuberculose?
b) Se uma pessoa é retirada ao acaso e está com tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?
Passo 1
O enunciado dá um grupo com
homens e
mulheres. As probabilidades condicionais de tuberculose são: para um homem
e para uma mulher
. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso do grupo todo ter tuberculose?
b) Se uma pessoa escolhida ao acaso tem tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso do grupo todo ter tuberculose?
b) Se uma pessoa escolhida ao acaso tem tuberculose, qual a probabilidade de que seja homem?
Informações relevantes listadas:
- Número de homens:
. - Número de mulheres:
. - Total de pessoas:
. -
(probabilidade de tuberculose dado que é homem). -
(probabilidade de tuberculose dado que é mulher). - Queremos
(parte a) ) e (parte b) ).
Passo 2
Vamos traduzir as quantidades em probabilidades simples de seleção de gênero. A probabilidade de escolher um homem ao acaso no grupo é a fração de homens:
A probabilidade de escolher uma mulher é
Essas probabilidades representam a chance de a pessoa selecionada ser homem ou mulher antes de sabermos se tem tuberculose.
Passo 3
Para responder (a) usamos a ideia intuitiva: a probabilidade de alguém ter tuberculose vem de dois caminhos — ser homem e ter tuberculose, ou ser mulher e ter tuberculose — e somamos essas contribuições ponderadas pela fração de cada gênero. Em linguagem de probabilidade, isso é a fórmula da probabilidade total:
Aqui cada termo significa:
é a chance de ser homem e
é a chance de ter tuberculose se for homem; o produto dá a probabilidade conjunta de ser homem e ter tuberculose. O mesmo vale para mulheres.
Passo 4
Agora substituímos os números e calculamos passo a passo:
Somando:
Interpretação prática: espera-se
homens com tuberculose e
mulheres com tuberculose, total
casos em
pessoas, ou seja
(ou
).
Passo 5
Para responder (b) precisamos da probabilidade condicional inversa
: a chance da pessoa ser homem sabendo que ela tem tuberculose. Usamos a definição de probabilidade condicional ou o Teorema de Bayes em forma direta:
O numerador
é
, que já calculamos como
. O denominador é
obtido na parte (a).
Passo 6
Substituindo:
Em termos de contagem (intuitivo): dos
casos de tuberculose no grupo,
são homens, então a probabilidade de um caso ser homem é
(ou
).
Resposta
a)
(ou
)
b) (ou
)
b)