Um cientista criou um ecossistema em um recipiente, misturando os organismos unicelulares que está estudando e outros organismos que funcionam como competidores. A hipótese do cientista é de que o organismo em estudo eliminará os competidores e dominará o nicho ecológico. Inicialmente, os organismos estudados, as taxas com a qual esta razão muda é dada pela equação R^prime(t)=-8t^2+8 t+15, onde t é medido em dias e R(t) é a razão entre a população de organismos competidores e a população dos organismos em estudo.
Determine R(t). R: 32 Ln|t+3|-32L n|t+5|+C

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma equação que descreve como a razão entre duas populações de organismos muda ao longo do tempo. O objetivo é encontrar a função $ R(t) $ que representa essa razão. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções racionais.

Passo 2

A equação diferencial fornecida é:
R^prime(t) = -8t^2 + 8t + 15
Nosso objetivo é encontrar $ R(t) $, que é a integral de $ R^{\prime}(t) $ em relação a $ t $:
R(t)

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Fatorando o polinômio do denominador:
t^2 + 8t + 15 = (t + 3)(t + 5)
Então, a equação fica:
R(t) = integral -8(t + 3)(t + 5) , dt

Passo 4

Para integrar essa fração, usamos o método de frações parciais. Queremos escrever a fração como a soma de duas frações mais simples:
-8(t + 3)(t + 5) = At + 3 + Bt + 5
Multiplicando ambos os lados por $ (t + 3)(t + 5) $ para eliminar os denominadores:
(t + 3)(t + 5)
Agora, escolhemos valores para $ t $ que simplifiquem a equação:
  • Se $ t = -3 $:
-8 = A(t + 5) + B(t + 3)
  • Se $ t = -5 $:
t

Passo 5

Substituindo os valores de $ A $ e $ B $ encontrados:
A
Então, a integral fica:
B

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral -4t + 3 , dt = -4 ln|t + 3|
integral 4t + 5 , dt = 4 ln|t + 5|
Juntando tudo, temos:
R(t) = -4 ln|t + 3| + 4 ln|t + 5| + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

R(t) = -4 ln|t + 3| + 4 ln|t + 5| + C

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