Um cientista criou um ecossistema em um recipiente, misturando os organismos unicelulares que está estudando e outros organismos que funcionam como competidores. A hipótese do cientista é de que o organismo em estudo eliminará os competidores e dominará o nicho ecológico. Inicialmente, os organismos estudados, as taxas com a qual esta razão muda é dada pela equação
, onde
é medido em dias e
é a razão entre a população de organismos competidores e a população dos organismos em estudo.
Determine
.
Determine
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma equação que descreve como a razão entre duas populações de organismos muda ao longo do tempo. O objetivo é encontrar a função $ R(t) $ que representa essa razão. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções racionais.
Passo 2
A equação diferencial fornecida é:
Nosso objetivo é encontrar $ R(t) $, que é a integral de $ R^{\prime}(t) $ em relação a $ t $:
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para facilitar a integração. Fatorando o polinômio do denominador:
Então, a equação fica:
Passo 4
Para integrar essa fração, usamos o método de frações parciais. Queremos escrever a fração como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por $ (t + 3)(t + 5) $ para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores para $ t $ que simplifiquem a equação:
- Se $ t = -3 $:
- Se $ t = -5 $:
Passo 5
Substituindo os valores de $ A $ e $ B $ encontrados:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Juntando tudo, temos:
onde $ C $ é a constante de integração.