A função custo de um produto é dada pela seguinte equação
, onde x é o número de unidades produzidas. Se para produzir 2 unidades o custo é de
, ache uma fórmula para C em termos de x (supondo que
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre cálculo de funções de custo. A função custo é dada pela derivada $ C’(x) = \frac{400x^2 + 1300x - 900}{x(x-1)(x+3)} $. Queremos encontrar a função custo $ C(x) $ em termos de $ x $, sabendo que para produzir 2 unidades o custo é de R$47,00. Para resolver isso, vamos precisar integrar essa derivada e usar a condição dada para achar a constante da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ C’(x) $ é a derivada da função custo $ C(x) $. Para achar $ C(x) $, precisamos integrar $ C’(x) $ em relação a $ x $.
Então, temos:
Para integrar essa fração, vamos simplificar a expressão quebrando-a em frações parciais.
Passo 3
Vamos decompor a fração $ \frac{400x^2 + 1300x - 900}{x(x-1)(x+3)} $ em termos mais simples. Suponhamos que ela possa ser escrita como:
Multiplicando ambos os lados por $ x(x-1)(x+3) $, temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 4
Para achar $ A $, $ B $ e $ C $, vamos escolher valores de $ x $ que simplificam a equação:
- Quando $ x = 0 $:
- Quando $ x = 1 $:
- Quando $ x = -3 $:
Então, temos $ A = 300 $, $ B = 200 $ e $ C = -100 $.
Passo 5
Agora podemos escrever a integral como:
Vamos integrar termo a termo:
-
integral 300x , dx = 300 ln|x| -
integral 200x-1 , dx = 200 ln|x-1| -
integral -100x+3 , dx = -100 ln|x+3|
Então, juntando tudo:
Onde $ K $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos usar a condição dada: quando $ x = 2 $, $ C(2) = 47 $.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Resolvendo para $ K $:
Passo 7
Agora colocamos tudo de volta na expressão de $ C(x) $:
Podemos simplificar combinando os termos constantes:
Para simplificar ainda mais, podemos fatorar:
Finalmente, agrupando as constantes:
Como a constante foi ajustada para que $ C(2) = 47 $, a expressão final fica: