A função custo de um produto é dada pela seguinte equação C^prime(x)=400 x^2+1300 x-900x(x-1)(x+3), onde x é o número de unidades produzidas. Se para produzir 2 unidades o custo é de R , ache uma fórmula para C em termos de x (supondo que , ache uma fórmula para C em termos de x (supondo que ).
)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre cálculo de funções de custo. A função custo é dada pela derivada $ C’(x) = \frac{400x^2 + 1300x - 900}{x(x-1)(x+3)} $. Queremos encontrar a função custo $ C(x) $ em termos de $ x $, sabendo que para produzir 2 unidades o custo é de R$47,00. Para resolver isso, vamos precisar integrar essa derivada e usar a condição dada para achar a constante da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ C’(x) $ é a derivada da função custo $ C(x) $. Para achar $ C(x) $, precisamos integrar $ C’(x) $ em relação a $ x $.
Então, temos:
C'(x)
Para integrar essa fração, vamos simplificar a expressão quebrando-a em frações parciais.

Passo 3

Vamos decompor a fração $ \frac{400x^2 + 1300x - 900}{x(x-1)(x+3)} $ em termos mais simples. Suponhamos que ela possa ser escrita como:
400x^2 + 1300x - 900x(x-1)(x+3)
Multiplicando ambos os lados por $ x(x-1)(x+3) $, temos:
Ax + Bx-1 + Cx+3
Agora, precisamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 4

Para achar $ A $, $ B $ e $ C $, vamos escolher valores de $ x $ que simplificam a equação:
  1. Quando $ x = 0 $:
A
  1. Quando $ x = 1 $:
B
  1. Quando $ x = -3 $:
C
Então, temos $ A = 300 $, $ B = 200 $ e $ C = -100 $.

Passo 5

Agora podemos escrever a integral como:
C(x) = integral ( 300x + 200x-1 - 100x+3 ) dx
Vamos integrar termo a termo:
  1. integral 300x , dx = 300 ln|x|
  2. integral 200x-1 , dx = 200 ln|x-1|
  3. integral -100x+3 , dx = -100 ln|x+3|
Então, juntando tudo:
C(x) = 300 ln|x| + 200 ln|x-1| - 100 ln|x+3| + K
Onde $ K $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos usar a condição dada: quando $ x = 2 $, $ C(2) = 47 $.
Substituindo na equação:
x = 2
Simplificando:
C(2) = 47
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
47 = 300 ln|2| + 200 ln|2-1| - 100 ln|2+3| + K
Resolvendo para $ K $:
47 = 300 ln(2) + 200 ln(1) - 100 ln(5) + K

Passo 7

Agora colocamos tudo de volta na expressão de $ C(x) $:
C(x)
Podemos simplificar combinando os termos constantes:
C(x) = 300 ln|x| + 200 ln|x-1| - 100 ln|x+3| + 47 - 300 ln(2) + 100 ln(5)
Para simplificar ainda mais, podemos fatorar:
C(x) = 300 ln(x2) + 200 ln(x-1) - 100 ln(x+3) + 100 ln(5) + 47
Finalmente, agrupando as constantes:
C(x) = 100 ln( x^3 (x-1)^2x+3 ) + 47 + 100 ln(5)
Como a constante foi ajustada para que $ C(2) = 47 $, a expressão final fica:

Resposta

C(x) = 100 cdot ln|x^3(x-1)^2x+3|

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