Encontre a derivada da função dada usando a definição. Ache um ou vários pontos sobre o gráfico da função em que a reta tangente é paralela à reta dada: f(x)=6 raizx+2 ; -x+y=2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=6raizx+2 usando a definição de derivada por limite e depois achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico é paralela à reta -x+y=2. Vamos precisar da definição de derivada e do coeficiente angular da reta dada.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada temos
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Substituindo f(x)=6raizx+2 e usando o conjugado para simplificar a raiz, obtemos
f(x+h)-f(x)h = 6(raizx+h-raizx)h cdotraizx+h+raizxraizx+h+raizx = 6l((x+h)-xr)h,l(raizx+h+raizxr) = 6hh,l(raizx+h+raizxr) = 6raizx+h+raizx

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando hto0:
f'(x)=limhto06raizx+h+raizx=62raizx=3raizx

Passo 5

A reta dada -x+y=2 pode ser reescrita como y=x+2, então o coeficiente angular é m=1. Para que a tangente seja paralela, igualamos f'(x)=1:
3raizx=1 Rightarrowraizx=3 Rightarrow x=9

Passo 6

Substituindo em f(x) encontramos o ponto:
y=f(9)=6raiz9+2=6cdot3+2=20
Logo, o ponto é (9,20).

Resposta

A derivada é f'(x)=3raizx e a reta tangente é paralela a -x+y=2 apenas em x=9, no ponto (9,20).

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