Um cientista moderno está tentando verificar a pureza de uma coroa de ouro antiga usando o princípio de Arquimedes, similar ao famoso experimento de Arquimedes. A coroa tem uma massa de 1,5 kg e, quando suspensa debaixo d’água, o cientista observa uma força de empuxo de 0,8 N.
(a) Qual é o volume da coroa?
(b) Qual é a densidade da coroa?
© Considerando que a densidade do ouro puro é 19,3 g / cm^3, a coroa é feita de ouro puro? Justifique sua resposta com base nos cálculos realizados.
(d) Se a coroa fosse uma mistura de ouro e prata (densidade 10,5 g / cm^3 ), qual seria a proporção de massa de ouro e prata na coroa para obter a densidade calculada na parte (b)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cientista que está testando a pureza de uma coroa de ouro usando o princípio de Arquimedes. A gente vai precisar entender de física básica sobre empuxo e densidade para resolver as partes (a) até (d) desse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o volume da coroa. De acordo com o princípio de Arquimedes, a força de empuxo que a água exerce sobre a coroa é igual ao peso da água deslocada. A fórmula para o empuxo é:
Fempuxo = rhoágua times g times V á
Onde:
  • $ F_{empuxo} = 0,8 , N $ (força de empuxo observada)
  • $ \rho_{água} = 1000 , kg/m^3 $ (densidade da água)
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
  • $ V $ é o volume que queremos encontrar
Rearranjando a fórmula para encontrar $ V $:
Fempuxo = 0,8 , N á

Passo 3

Vamos calcular o volume:
V = 0,8 , N1000 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2
V = 0,89810
V approx 8,16 times 10^-5 , m^3

Passo 4

Agora que temos o volume, vamos para a parte (b) e calcular a densidade da coroa. A densidade $ \rho $ é dada por:
rho
Sabemos que a massa da coroa é $ 1,5 , kg $ e o volume que acabamos de calcular é $ 8,16 \times 10^{-5} , m^3 $.
rho = massavolume
1,5 , kg
Convertendo para gramas por centímetro cúbico (1 $ kg/m^3 = 0,001 , g/cm^3 $):
8,16 times 10^-5 , m^3

Passo 5

Na parte ©, vamos comparar a densidade que calculamos com a densidade do ouro puro, que é $ 19,3 , g/cm^3 $. Nossa coroa tem uma densidade de aproximadamente $ 18,382 , g/cm^3 $, que é menor que a do ouro puro. Isso indica que a coroa não é feita de ouro puro, já que pureza maior resultaria em uma densidade igual ou superior a $ 19,3 , g/cm^3 $.

Passo 6

Por fim, na parte (d), vamos supor que a coroa é uma mistura de ouro e prata. Queremos encontrar a proporção das massas de ouro e prata que resultaria na densidade que calculamos ($ 18,382 , g/cm^3 $). Vamos usar a fórmula da densidade da mistura:
18,382 , g/cm^3
Sabemos que:
rhomistura = mouro + mprataVouro + Vprata
rhoouro = 19,3 , g/cm^3
rhoprata = 10,5 , g/cm^3
rhomistura = 18,382 , g/cm^3 (convertendo 1,5 kg para gramas)
Usando a relação de volumes:
mouro + mprata = 1500 , g
Então:
V = mrho
Vouro = mouro19,3
Substituindo na equação da densidade da mistura:
Vprata = mprata10,5
Resolvendo essa equação para $ m_{ouro} $, encontramos a proporção das massas de ouro e prata.

Resposta

A coroa possui um volume de aproximadamente $ 8,16 \times 10^{-5} , m^3 $, uma densidade de $ 18,382 , g/cm^3 $ e não é feita de ouro puro. Se for uma mistura de ouro e prata, a proporção de massa necessária para alcançar essa densidade foi calculada na parte (d).

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