Um elevador hidráulico é usado para levantar carros em uma oficina mecânica. O elevador consiste em dois pistões de áreas diferentes, conectados por um tubo cheio de óleo (densidade rho=900 kg / m^3 ). O pistão menor tem uma área de 0,02 m^2 e o pistão maior tem um área de 0,50 m^2. O elevador é projetado para levantar um carro com uma massa de 1500 kg .
(a) Qual é a força mínima que deve ser aplicada no pistão menor para levantar o carro?
(b) Se o pistão menor for deslocado para baixo por 10 cm , qual será o deslocamento do pistão maior para cima?
© Considerando que o pistão menor é empurrado para baixo com uma força constante e o carro é levantado até uma altura de 1,2 m, qual é o trabalho realizado pela força aplicada no pistão menor?
(d) Se o sistema estiver a uma altura inicial de 0,5 m acima do solo, qual será a pressão no fluido no nível do pistão maior quando o carro estiver a 1,2 m de altura?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre um elevador hidráulico que levanta carros em uma oficina mecânica. A gente vai precisar de conceitos de Mecânica dos Fluidos, especialmente o Princípio de Pascal, que nos ajuda a entender como a pressão se distribui em fluidos incompressíveis. Vamos precisar também usar fórmulas de área, força, trabalho e pressão. Bora resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Qual é a força mínima que deve ser aplicada no pistão menor para levantar o carro?
Primeiro, vamos lembrar do Princípio de Pascal, que diz que a pressão aplicada em um fluido se transmite igualmente em todas as direções. A pressão é dada por:
P = FA
Onde $ P $ é a pressão, $ F $ é a força e $ A $ é a área.
Como os pistões são conectados pelo fluido, a pressão no pistão menor será igual à pressão no pistão maior:
P
Queremos encontrar $ F_1 $, a força mínima no pistão menor. Sabemos que $ F_2 $ é o peso do carro, que é $ m \times g $, onde $ m = 1500 , kg $ e $ g = 9,81 , m/s² $.
Calculando $ F_2 $:
F ²
Agora, rearranjando a fórmula para encontrar $ F_1 $:
A
Substituindo os valores:
F1A1 = F2A2 ²²

Passo 3

Parte (b): Se o pistão menor for deslocado para baixo por 10 cm, qual será o deslocamento do pistão maior para cima?
Aqui, vamos usar o conceito de Conservação do Volume, já que o fluido é incompressível. O volume deslocado pelo pistão menor deve ser igual ao volume recebido pelo pistão maior.
A fórmula é:
A1 times d1 = A2 times d2
Onde $ d_1 $ é o deslocamento do pistão menor e $ d_2 $ é o deslocamento do pistão maior.
Queremos encontrar $ d_2 $, e sabemos que $ d_1 = 10 , cm = 0,10 , m $.
Rearranjando a fórmula:
d1 ²²³²

Passo 4

Parte ©: Considerando que o pistão menor é empurrado para baixo com uma força constante e o carro é levantado até uma altura de 1,2 m, qual é o trabalho realizado pela força aplicada no pistão menor?
O trabalho é dado por:
W = F times d
Já temos $ F_1 = 588,6 , N $. Precisamos encontrar $ d_1 $ para levantar o carro a 1,2 m.
Usando o princípio da conservação do volume:
F1 = 588,6 , N
Onde $ d_2 = 1,2 , m $. Então:
d1 ²²³²
Agora, calculando o trabalho:
A1 times d1 = A2 times d2

Passo 5

Parte (d): Se o sistema estiver a uma altura inicial de 0,5 m acima do solo, qual será a pressão no fluido no nível do pistão maior quando o carro estiver a 1,2 m de altura?
A pressão no fluido depende da profundidade. Usamos a fórmula da pressão hidrostática:
P = Patm + rho times g times h
Onde:
  • $ P_{atm} $ é a pressão atmosférica (vamos assumir $ 101,325 , Pa $),
  • $ \rho = 900 , kg/m³ $,
  • $ g = 9,81 , m/s² $,
  • $ h $ é a profundidade adicional devido à altura do carro.
A altura total acima do pistão maior é $ 0,5 , m + 1,2 , m = 1,7 , m $.
Calculando a pressão:
Patm ³²
101,325 , Pa
rho = 900 , kg/m³

Resposta

(a) A força mínima a ser aplicada no pistão menor é 588,6 N.
(b) O deslocamento do pistão maior será de 4 cm para cima.
© O trabalho realizado pela força aplicada no pistão menor é 17 658 J.
(d) A pressão no fluido no nível do pistão maior quando o carro estiver a 1,2 m de altura será de 116 336 Pa.

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