Um cilindro vertical de altura h e área da base A está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades
e
. A porção inferior do cilindro, de altura
, está submersa no fluido de densidade
, enquanto a porção superior, de altura
, está submersa no fluido de densidade
. O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é
.
(a) Derive a expressão para a altura
da porção do cilindro submersa no fluido mais denso
em termos de
e
.
(b) Considerando que o cilindro tem altura total
, área da base
, densidade
, e está imerso em água
e óleo
, calcule a altura
da porção submersa na água.
© Qual é a força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos?
(d) Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.
(a) Derive a expressão para a altura
(b) Considerando que o cilindro tem altura total
© Qual é a força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos?
(d) Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de estática de fluidos, especificamente sobre como um cilindro se comporta quando está parcialmente submerso em dois fluidos diferentes com densidades distintas. A gente vai precisar usar conceitos de empuxo e equilíbrio estático para resolver as partes (a) a (d) do problema. Vamos precisar das densidades dos fluidos, da densidade do cilindro, da altura total e da área da base.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), onde precisamos derivar uma expressão para a altura $ h_{2} $ da porção do cilindro submersa no fluido mais denso ($ \rho_{2} $).
Primeiro, lembre-se que para o cilindro estar em equilíbrio estático, o empuxo total para cima deve ser igual ao peso do cilindro para baixo.
O empuxo ($ E $) é dado por:
onde:
- $ \rho_{1} $ é a densidade do fluido menos denso,
- $ \rho_{2} $ é a densidade do fluido mais denso,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ A $ é a área da base do cilindro,
- $ h_{1} $ é a altura submersa no fluido menos denso,
- $ h_{2} $ é a altura submersa no fluido mais denso.
O peso do cilindro ($ P $) é:
onde $ \rho_{c} $ é a densidade do cilindro e $ h $ é a altura total.
Para equilíbrio:
Podemos simplificar $ gA $ dos dois lados:
Como a altura total $ h = h_{1} + h_{2} $, temos:
Substituindo na equação anterior:
Distribuindo:
Agrupando termos com $ h_{2} $:
Fatorando $ h $:
Finalmente, isolando $ h_{2} $:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde temos valores numéricos específicos e precisamos calcular $ h_{2} $.
Os dados fornecidos são:
- Altura total $ h = 0,5 , m $
- Área da base $ A = 0,02 , m^{2} $
- Densidade do cilindro $ \rho_{c} = 800 , kg/m^{3} $
- Densidade da água $ \rho_{2} = 1000 , kg/m^{3} $
- Densidade do óleo $ \rho_{1} = 700 , kg/m^{3} $
Usando a fórmula que derivamos:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Convertendo para centímetros, fica aproximadamente 16,67 cm.
Passo 4
Vamos passar para a parte ©, que pede a força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos.
Sabemos que:
Onde:
- $ h_{1} = h - h_{2} = 0,5 - 0,1667 = 0,3333 , m $
Calculando $ E_{1} $:
Calculando $ E_{2} $:
Somando os dois empuxos:
Passo 5
Finalmente, na parte (d), precisamos analisar se o cilindro retorna ao equilíbrio ou continua a subir se for deslocado ligeiramente para cima.
Isso está relacionado ao conceito de estabilidade estática. Se, ao ser deslocado, a força de empuxo tende a restaurar a posição original, o sistema é estável.
No caso, se o cilindro for puxado para cima, menos do cilindo estará submerso na água ($ \rho_{2}
\rho_{1} $). Como $ \rho_{2} > \rho_{1} $, a diminuição do empuxo da água não será suficiente para compensar o aumento no empuxo do óleo, resultando em um empuxo neto menor do que o peso do cilindro. Portanto, o cilindro tenderá a continuar subindo, indicando que o equilíbrio é instável.
Resposta
(a) A altura $ h_{2} $ da porção do cilindro submersa no fluido mais denso é:
(b) Com os valores fornecidos, $ h_{2} \approx 0,1667 , m $ ou 16,67 cm.
© A força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos é aproximadamente $ 78,48 , N $.
(d) Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele continuaria a subir, indicando que o equilíbrio é instável.