Um cilindro vertical de altura h e área da base A está em equilíbrio quando parcialmente submerso em dois fluidos imiscíveis, de densidades rho1 e h2. A porção inferior do cilindro, de altura rho2, está submersa no fluido de densidade h1, enquanto a porção superior, de altura rho1, está submersa no fluido de densidade rhoc. O cilindro está em equilíbrio estático, e a densidade do material do cilindro é h2.
(a) Derive a expressão para a altura h, rho1, rho2 da porção do cilindro submersa no fluido mais denso rhoc em termos de h=0.5 m e A=0.02 m.
(b) Considerando que o cilindro tem altura total rhoc=800 kg / m^3, área da base h2, densidade , e está imerso em água e óleo , calcule a altura da porção submersa na água.
© Qual é a força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos?
(d) Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele retornaria ao equilíbrio ou continuaria a subir? Justifique sua resposta com base nos princípios de estabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de estática de fluidos, especificamente sobre como um cilindro se comporta quando está parcialmente submerso em dois fluidos diferentes com densidades distintas. A gente vai precisar usar conceitos de empuxo e equilíbrio estático para resolver as partes (a) a (d) do problema. Vamos precisar das densidades dos fluidos, da densidade do cilindro, da altura total e da área da base.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), onde precisamos derivar uma expressão para a altura $ h_{2} $ da porção do cilindro submersa no fluido mais denso ($ \rho_{2} $).
Primeiro, lembre-se que para o cilindro estar em equilíbrio estático, o empuxo total para cima deve ser igual ao peso do cilindro para baixo.
O empuxo ($ E $) é dado por:
h2
onde:
  • $ \rho_{1} $ é a densidade do fluido menos denso,
  • $ \rho_{2} $ é a densidade do fluido mais denso,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ A $ é a área da base do cilindro,
  • $ h_{1} $ é a altura submersa no fluido menos denso,
  • $ h_{2} $ é a altura submersa no fluido mais denso.
O peso do cilindro ($ P $) é:
rho2
onde $ \rho_{c} $ é a densidade do cilindro e $ h $ é a altura total.
Para equilíbrio:
E
Podemos simplificar $ gA $ dos dois lados:
E = E1 + E2 = rho1gA h1 + rho2gA h2
Como a altura total $ h = h_{1} + h_{2} $, temos:
rho1
Substituindo na equação anterior:
rho2
Distribuindo:
g
Agrupando termos com $ h_{2} $:
A
Fatorando $ h $:
h1
Finalmente, isolando $ h_{2} $:
h2

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde temos valores numéricos específicos e precisamos calcular $ h_{2} $.
Os dados fornecidos são:
  • Altura total $ h = 0,5 , m $
  • Área da base $ A = 0,02 , m^{2} $
  • Densidade do cilindro $ \rho_{c} = 800 , kg/m^{3} $
  • Densidade da água $ \rho_{2} = 1000 , kg/m^{3} $
  • Densidade do óleo $ \rho_{1} = 700 , kg/m^{3} $
Usando a fórmula que derivamos:
h2
Calculando o numerador:
h = 0,5 , m
E o denominador:
A = 0,02 , m^2
Então:
rhoc = 800 , kg/m^3
Convertendo para centímetros, fica aproximadamente 16,67 cm.

Passo 4

Vamos passar para a parte ©, que pede a força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos.
Sabemos que:
E1 = rho1 g A h1
E2 = rho2 g A h2
Onde:
  • $ h_{1} = h - h_{2} = 0,5 - 0,1667 = 0,3333 , m $
Calculando $ E_{1} $:
h1 = h - h2 = 0,5 - 0,1667 = 0,3333 , m
Calculando $ E_{2} $:
E1
Somando os dois empuxos:
E1 = 700 times 9,81 times 0,02 times 0,3333 approx 700 times 9,81 times 0,006666 approx 700 times 0,0654 approx 45,78 , N

Passo 5

Finalmente, na parte (d), precisamos analisar se o cilindro retorna ao equilíbrio ou continua a subir se for deslocado ligeiramente para cima.
Isso está relacionado ao conceito de estabilidade estática. Se, ao ser deslocado, a força de empuxo tende a restaurar a posição original, o sistema é estável.
No caso, se o cilindro for puxado para cima, menos do cilindo estará submerso na água ($ \rho_{2} rho2 áó \rho_{1} $). Como $ \rho_{2} > \rho_{1} $, a diminuição do empuxo da água não será suficiente para compensar o aumento no empuxo do óleo, resultando em um empuxo neto menor do que o peso do cilindro. Portanto, o cilindro tenderá a continuar subindo, indicando que o equilíbrio é instável.

Resposta

(a) A altura $ h_{2} $ da porção do cilindro submersa no fluido mais denso é:
h2
(b) Com os valores fornecidos, $ h_{2} \approx 0,1667 , m $ ou 16,67 cm.
© A força de empuxo total exercida sobre o cilindro pelos dois fluidos é aproximadamente $ 78,48 , N $.
(d) Se o cilindro fosse deslocado ligeiramente para cima, ele continuaria a subir, indicando que o equilíbrio é instável.

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