Um cientista observa a ocorrência de um acontecimento A como resultado de uma experiência. Há 3 hipóteses, H1, H2, H3, que o experimentador considera serem as únicas explicações possíveis para a ocorrência de A. Sob H1, a experiência deveria originar A 10 % das vezes, sob H2, a experiência deveria originar A 1 % das vezes e sob H3, a experiência deveria originar A 39 % das vezes.
Suponha que a experiência é um teste laboratorial sobre o sangue de um indivíduo escolhido ao acaso de uma determinada população. A hipótese Hi é que o tipo de sangue do indivíduo é i, i=1,2,3. Nessa população sabe-se que a percentagem de indivíduos com sangue de tipo 1 é 50 %, a proporção de indivíduos com sangue de tipo 2 é 45 % e a proporção de indivíduos com sangue de tipo 3 é 5 %. Refaça os cálculos de P(H3 mid A).

Passo 1

Beleza, resumindo o que o enunciado pede: temos uma experiência (um teste de laboratório) que, dependendo do tipo de sangue do sujeito (H₁, H₂ ou H₃), dá um resultado A com certa probabilidade.
Conteúdo da matéria: probabilidade total e teorema de Bayes.
O que a gente precisa:
  1. Os priors P(H₁), P(H₂), P(H₃) – que são as porcentagens de cada tipo de sangue na população.
  2. As likelihoods P(A|H₁), P(A|H₂), P(A|H₃) – que são as chances de ocorrer A sob cada hipótese.
  3. Aplicar primeiro a fórmula da probabilidade total para achar P(A), depois usar Bayes para achar P(H₃|A).

Passo 2

Calcular P(A) usando a fórmula da probabilidade total:
P(A) ;=; P(H1),P(Amid H1) ;+; P(H2),P(Amid H2) ;+; P(H3),P(Amid H3)
Substituindo os valores:
P(A) = 0,50 times 0,10 ;+; 0,45 times 0,01 ;+; 0,05 times 0,39
Calculando passo a passo:
  • 0,50 × 0,10 = 0,050
  • 0,45 × 0,01 = 0,0045
  • 0,05 × 0,39 = 0,0195
    Então
P(A) = 0,050 + 0,0045 + 0,0195 = 0,074

Passo 3

Agora a gente aplica o teorema de Bayes para P(H₃|A):
P(H3mid A) = P(Amid H3),P(H3)P(A)
Substituindo:
P(H3mid A) = 0,39 times 0,050,074 = 0,01950,074
Fazendo a divisão:
P(H3mid A) approx 0,2635

Resposta

P(H3mid A) approx 0,2635 (ou 26,35%)

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