Enviam-se sinais telegráficos traço e ponto numa proporção de 1 para 3. Devido a várias condições pode haver erros de transmissão, e quando é enviado um ponto ele é recebido como traço com probabilidade 1 / 5 e quando é enviado um traço ele é recebido como ponto com probabilidade 1 / 10. Se for recebido um ponto, qual é a probabilidade de ele ser enviado como traço?

Passo 1

Beleza, aqui o que rola: a gente tem dois tipos de sinais, traço (T) e ponto §, que são enviados numa proporção 1 pra 3. Depois da transmissão, pode rolar erro: ponto vira traço com probabilidade e traço vira ponto com probabilidade . A questão é: se a gente RECEBEU um ponto, qual a chance de ter SIDO enviado um traço?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar das probabilidades iniciais (priors) e das probabilidades de erro (condicionais).

Passo 2

Primeiro, anota as probabilidades básicas:
(traço enviado)
(ponto enviado)
E as derivações de erro:

Passo 3

Agora, calculamos a probabilidade total de RECEBER um ponto, que é
P(receber P) = P(receber Pmid T),P(T) ;+; P(receber Pmid P),P(P)
Substituindo:
P(receber P) = 110cdot14 ;+; 45cdot34 = 140 + 1220 = 140 + 2440 = 2540 = 58

Passo 4

Finalmente aplica o Teorema de Bayes pra achar P(Tmid receber P) = P(receber Pmid T),P(T)P(receber P) = 110cdot1458 = 14058 = 140times85 = 8200 = 125 :

Resposta

A probabilidade de ter sido enviado um traço, dado que você recebeu um ponto, é .

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