Os cientistas ainda não têm certeza se o universo é aberto (o que significa que continuará se expandindo para sempre) ou fechado (o que significa que eventualmente ele acabará colapsando em si mesmo em um Big Crunch). O que determina se ele é aberto ou fechado é basicamente a mesma coisa que calculamos para determinar as velocidades de escape. Suponha que o universo tem uma densidade uniforme
. Então a massa contida em algum volume esférico de espaço de raio
é
. Modele uma galáxia localizada na borda deste volume esférico como uma partícula e considere sua energia. De acordo com a lei de Hubble, a velocidade desta galáxia é
, onde
é chamada de constante de Hubble. A atual estimativa da densidade do universo é de
, incluindo cerca de
de matéria escura, que é matéria que não podemos observar diretamente, e
de energia escura, outro constituinte que não é diretamente observável. Tanto a matéria escura quanto a energia escura contribuem com a gravidade, e portanto são incluídas neste valor da densidade. Compare este valor com o seu resultado e discuta que diferença faria se não houvesse matéria escura no universo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre se o universo é aberto ou fechado, ou seja, se ele vai continuar se expandindo pra sempre ou se vai eventualmente parar e começar a contrair. Para descobrir isso, a gente vai comparar a densidade do universo com a velocidade de escape, que é a velocidade mínima necessária para um objeto “escapar” da atração gravitacional de uma massa. Vamos precisar entender conceitos de densidade, massa, velocidade de Hubble e como eles se relacionam na cosmologia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa contida em um volume esférico de raio $ R $ com densidade uniforme $ \rho $. A fórmula para a massa $ M $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade de escape $ v_{esc} $ desse volume esférico. A fórmula da velocidade de escape é:
Substituindo a massa $ M $ que calculamos:
Passo 4
De acordo com a lei de Hubble, a velocidade $ v $ da galáxia na borda do volume esférico é:
Onde $ H = 2,2 \times 10^{-18} , s^{-1} $ é a constante de Hubble.
Passo 5
Para o universo ser crítico (a linha entre aberto e fechado), a velocidade de Hubble deve ser igual à velocidade de escape:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Podemos cancelar $ R^{2} $ dos dois lados:
Passo 6
Essa equação nos dá a densidade crítica $ \rho_{c} $:
Vamos calcular $ \rho_{c} $ com os valores dados. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
A densidade atual estimada do universo é $ \rho_{atual} = 10^{-26} , kg/m^{3} $. Comparando com a densidade crítica:
Isso sugere que o universo tem densidade maior que a crítica, o que indicaria um universo fechado. No entanto, precisamos considerar que a densidade crítica calculada é aproximada e que a presença de energia escura influencia essa dinâmica.
Passo 8
Se não houvesse matéria escura no universo, a densidade total seria menor, algo próximo a $ 7,5 \times 10^{-27} , kg/m^{3} $. Nesse caso:
O que sugeriria que o universo estaria exatamente no ponto crítico, possivelmente resultando em um universo plano que se expande indefinidamente, mas cada vez mais lentamente.
Resposta
A densidade atual do universo é aproximadamente $ 10^{-26} , kg/m^{3} $, que é um pouco maior que a densidade crítica calculada $ \rho_{c} \approx 8,5 \times 10^{-27} , kg/m^{3} $, indicando um universo ligeiramente fechado. Se não houvesse matéria escura, a densidade total seria menor e o universo poderia estar no limiar crítico, resultando em uma expansão eterna mais estável.