Os cientistas ainda não têm certeza se o universo é aberto (o que significa que continuará se expandindo para sempre) ou fechado (o que significa que eventualmente ele acabará colapsando em si mesmo em um Big Crunch). O que determina se ele é aberto ou fechado é basicamente a mesma coisa que calculamos para determinar as velocidades de escape. Suponha que o universo tem uma densidade uniforme rho. Então a massa contida em algum volume esférico de espaço de raio R é 4 / 3 pi R^3 rho. Modele uma galáxia localizada na borda deste volume esférico como uma partícula e considere sua energia. De acordo com a lei de Hubble, a velocidade desta galáxia é H R, onde H=2,210^-18 s^-1 é chamada de constante de Hubble. A atual estimativa da densidade do universo é de 10^-26 kg / m^3, incluindo cerca de 25 % de matéria escura, que é matéria que não podemos observar diretamente, e 70 % de energia escura, outro constituinte que não é diretamente observável. Tanto a matéria escura quanto a energia escura contribuem com a gravidade, e portanto são incluídas neste valor da densidade. Compare este valor com o seu resultado e discuta que diferença faria se não houvesse matéria escura no universo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre se o universo é aberto ou fechado, ou seja, se ele vai continuar se expandindo pra sempre ou se vai eventualmente parar e começar a contrair. Para descobrir isso, a gente vai comparar a densidade do universo com a velocidade de escape, que é a velocidade mínima necessária para um objeto “escapar” da atração gravitacional de uma massa. Vamos precisar entender conceitos de densidade, massa, velocidade de Hubble e como eles se relacionam na cosmologia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa contida em um volume esférico de raio $ R $ com densidade uniforme $ \rho $. A fórmula para a massa $ M $ é:
R

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade de escape $ v_{esc} $ desse volume esférico. A fórmula da velocidade de escape é:
vesc
Substituindo a massa $ M $ que calculamos:
vesc = raiz2 G MR

Passo 4

De acordo com a lei de Hubble, a velocidade $ v $ da galáxia na borda do volume esférico é:
v
Onde $ H = 2,2 \times 10^{-18} , s^{-1} $ é a constante de Hubble.

Passo 5

Para o universo ser crítico (a linha entre aberto e fechado), a velocidade de Hubble deve ser igual à velocidade de escape:
H R = raiz8 pi G rho R^23
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
H^2 R^2 = 8 pi G rho R^23
Podemos cancelar $ R^{2} $ dos dois lados:
R^2

Passo 6

Essa equação nos dá a densidade crítica $ \rho_{c} $:
rhoc
Vamos calcular $ \rho_{c} $ com os valores dados. Sabemos que:
rhoc = 3 H^28 pi G
rhoc
Substituindo na fórmula:
H = 2,2 times 10^-18 , s^-1

Passo 7

A densidade atual estimada do universo é $ \rho_{atual} = 10^{-26} , kg/m^{3} $. Comparando com a densidade crítica:
rhoatual = 10^-26 , kg/m^3
Isso sugere que o universo tem densidade maior que a crítica, o que indicaria um universo fechado. No entanto, precisamos considerar que a densidade crítica calculada é aproximada e que a presença de energia escura influencia essa dinâmica.

Passo 8

Se não houvesse matéria escura no universo, a densidade total seria menor, algo próximo a $ 7,5 \times 10^{-27} , kg/m^{3} $. Nesse caso:
7,5 times 10^-27 , kg/m^3
O que sugeriria que o universo estaria exatamente no ponto crítico, possivelmente resultando em um universo plano que se expande indefinidamente, mas cada vez mais lentamente.

Resposta

A densidade atual do universo é aproximadamente $ 10^{-26} , kg/m^{3} $, que é um pouco maior que a densidade crítica calculada $ \rho_{c} \approx 8,5 \times 10^{-27} , kg/m^{3} $, indicando um universo ligeiramente fechado. Se não houvesse matéria escura, a densidade total seria menor e o universo poderia estar no limiar crítico, resultando em uma expansão eterna mais estável.

Exercícios relacionados