(a) Um elétron, um próton e uma partícula alfa têm, cada um deles, uma energia cinética de
. Ache os valores dos seus comprimentos de onda de de Broglie.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os comprimentos de onda de de Broglie de um elétron, um próton e uma partícula alfa, cada um com uma energia cinética de
. Então, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a relação de de Broglie que conecta a natureza ondulatória das partículas ao seu movimento. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula de de Broglie, das massas de cada partícula e fazer umas conversões de unidades.
Passo 2
Primeiro, lembremos a famosa fórmula de de Broglie:
Onde:
-
é o comprimento de onda de Broglie, -
é a constante de Planck ( ), -
é o momentum (ou quantidade de movimento) da partícula.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a energia cinética (
) à quantidade de movimento (
). A fórmula que liga os dois é:
Onde:
-
é a energia cinética, -
é a massa da partícula.
Vamos rearranjar essa equação para encontrar
:
Passo 4
Substituindo a expressão de
na fórmula de de Broglie, ficamos com:
Então, para cada partícula, nosso objetivo é calcular esse valor usando a massa correspondente e a energia cinética dada.
Passo 5
Vamos calcular
para cada partícula. Primeiro, precisamos converter a energia cinética de
para joules (
):
Agora, vamos às massas:
- Elétron:
- Próton:
- Partícula alfa:
Vamos calcular cada um separadamente.
Para o elétron:
Calculando o denominador:
Então,
Para o próton:
Calculando o denominador:
Então,
Para a partícula alfa:
Calculando o denominador:
Então,
Resposta
Os comprimentos de onda de de Broglie para cada partícula com energia cinética de
são aproximadamente:
- Elétron:
- Próton:
- Partícula alfa: