Se tomarmos
, teremos a capacitância de uma esfera de raio
. Nesse limite, determine a capacitância
da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrarmos a capacitância $ C $ de uma esfera com raio $ R_1 $ quando consideramos que o raio $ R_2 $ de outra esfera vai para o infinito. Isso faz parte da matéria de Eletrostática, especificamente sobre capacitância de condutores isolados. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da capacitância e como aplicá-la a uma esfera isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. Capacitância é a capacidade de um condutor armazenar carga elétrica quando existe uma diferença de potencial (voltagem) entre ele e um outro ponto (no caso, o infinito). A fórmula geral da capacitância é:
onde $ C $ é a capacitância, $ Q $ é a carga elétrica e $ V $ é a diferença de potencial.
Passo 3
Para uma esfera isolada de raio $ R_1 $, a diferença de potencial $ V $ em relação ao infinito pode ser calculada usando a lei de Coulomb. A fórmula para o potencial de uma esfera carregada é:
onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, um valor constante importante na eletrostática.
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de $ V $ na fórmula da capacitância:
Nessa etapa, percebemos que a carga $ Q $ se cancela, deixando a capacitância apenas em termos do raio da esfera e da permissividade do vácuo.
Resposta
A capacitância $ C $ da esfera é: